Квадрат является прямоугольником или. Что такое прямоугольник? Частные случаи прямоугольника

Прямоугольник – это в первую очередь геометрическая плоская фигура. Она состоит из четырех точек, которые соединены между собой двумя парами равных отрезков, перпендикулярно пересекающихся только в этих точках.

Прямоугольник определяют через параллелограмм. По-другому, прямоугольник – это параллелограмм, углы которого все прямые, то есть равные 90 градусам. В геометрии Евклида, если у геометрической фигуры 3 из 4 углов равны 90 градусам, то четвёртый угол автоматически равен 90 градусам и такую фигуру можно назвать прямоугольником. Из определения параллелограмма ясно, что прямоугольник – множество разновидностей этой фигуры на плоскости. Из этого следует, что свойства параллелограмма применимы и к прямоугольнику. Например: в прямоугольнике противолежащие стороны равные по своей длине. При построении диагонали в прямоугольнике она разобьет фигуру на два одинаковых треугольника. На этой и основана теорема Пифагора, в которой говорится о том, что квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его катетов. Если все стороны правильного прямоугольника равны, то такой прямоугольник называют квадратом. Квадрат также определяется как ромб, у которого все его стороны равны между собой, а все углы прямые.

Площадь прямоугольника находится по формуле: S=a*b, где a – длина данного прямоугольника, b – ширина. Например: площадь прямоугольника со сторонами 4 и 6 см будет равна 4*6=24 сантиметра в квадрате.

Периметр пр ямоугольника рассчитывается по формуле: P= (a+b)*2, где a – длина прямоугольников, b – ширина данного прямоугольника . Например: периметр пр ямоугольника со сторонами 4 и 8 см равен 24 см. Диагонали вписанного в окружность прямоугольника совпадают с диаметром этой окружности. Точка пересечения этих диагоналей будет являться центром окружности.

При доказательствах на причастность геометрической фигуры к прямоугольнику фигуру проверяют на какое-либо из условий: 1 – квадрат диагонали фигуры равен сумме квадратов двух сторон с одной общей точкой; 2 – диагонали фигуры имеют равную длину; 3 – все углы равны 90 градусам. При соблюдении хотя бы одного условия можно назвать фигуру прямоугольником.

Четырехугольником называют многоугольник, у которого четыре вершины и четыре стороны.

Иначе можно сказать, что четырёхугольником является геометрическая фигура в виде многоугольника, который имеет только четыре угла. Любой предмет или устройство, имеющее такую форму также можно назвать четырехугольником. Две стороны четырехугольника, которые по отношению друг к другу являются несмежными, называются противоположными. Два угла и две вершины, которые не являются соседними, называют противоположными.

Четырехугольник определяют, как параллелограмм, если у него противолежащие стороны попарно параллельны.

Определение

Квадрат — это параллелограмм, у которого все четыре стороны равны и все четыре угла прямые.

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого противолежащие стороны, которые параллельны друг другу, равны и все углы прямые.

Сравнение

Квадратом называют параллелограмм, у которого все четыре внутренних угла прямые. Все четыре стороны квадрата равны, то есть имеют одинаковую длину.

Прямоугольником называют параллелограмм, внутренние углы у которого прямые, и только противоположные стороны, которые параллельны друг другу, равны.

Для прямоугольника и квадрата характерны следующие свойства:

• все углы прямые;
• диагонали равны;
• в точке пересечения диагонали делятся пополам;
• противолежащие стороны параллельны друг другу и равны по длине.

Тема урока Прямоугольник и квадрат.

Введение нового знания.

2класс УМК «Школа 21 века»

Учитель: Мельникова Юлия Евгеньевна.

Цели урока:

Деятельностная: с формировать представление детей о геометрических фигурах: прямоугольнике и квадрате; показать их отличие и сходство; сформировать навык определения фигур по сторонам и углам;

Содержательная: развивать пространственные навыки, мышление, внимание, умение ставить проблемные вопросы, выдвигать гипотезы, анализировать и сравнивать, обобщать полученные данные и делать выводы;

Воспитательная: воспитывать коммуникативные умения, познавательный интерес, веру в свои силы.

Формировать интеллектуальные компетенции: умение самостоятельно ставить и решать учебные задачи - самостоятельно учиться, умение проектировать и моделировать собственную учебно-познавательную деятельность

Личностные УУД

Формировать мотивацию (смыслообразование, т. е. установление обучающимися связи между целью учебной деятельности и её мотивом, другими словами, между результатом учения и тем, что побуждает к деятельности, ради чего она осуществляется. Ученик должен задаваться вопросом: какое значение и какой смысл имеет для меня учение? - и уметь на него отвечать;)

Регулятивные УУД

1. Самостоятельно организовывать свое рабочее место.

2. Определять цель учебной деятельности с помощью учителя и самостоятельно. (целеполагание – постановка учебной задачи)

3. Определять план выполнения заданий на уроках (планирование)

4. Осуществлять контроль - соотносить выполненное задание с образцом, предложенным учителем.

5. Оценка своего задания по следующим параметрам: легко выполнять, возникли сложности при выполнении.

Познавательные УУД общеучебные, логические учебные действия, а также постановка и решение проблемы.

1. самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель

2. Отвечать на простые и сложные вопросы учителя, самим задавать вопросы, находить нужную информацию

3. анализ объектов с целью выделения признаков существенных Сравнивать предметы, объекты по нескольким основаниям; находить закономерности; классифицировать объекты

4.Наблюдать и делать самостоятельные простые выводы

Коммуникативные УУД

1.Участвовать в диалоге; слушать и понимать других, высказывать свою точку зрения.

2.. Выполняя различные роли в группе, сотрудничать в совместном решении проблемы (задачи).

Ход урока.

Включение в деятельность.

Сценка кто лучше. Прямоугольник, квадрат или треугольник.

Определение фигур по существенным признакам.

Ребята, узнали ли вы героев?

Кто же оказался лишним почему?

Кто остался? Догадайтесь: какая тема урока

2 Тема: прямоугольник и квадрат слайд

Какие задачи мы можем перед собой поставить?

Сравнить фигуры

Дать определение.

Решать задачи. (измерять, находить Р и площадь, конструировать, чертить)

Зачем мы изучаем геометрические фигуры?

Чертёж, конструктор, аппликация,

3 Выделение существенных признаков. Сравнение фигур.

На слайде фигуры: круг, треугольник, квадрат, трапеция, прямоугольник.(на партах)

Какое задание вы предложите выполнить? (группировать, найти лишнее, сравнить) –работа в паре. проверяют

Доказывают (лишний круг, треугольник, трапеция).

Почему эти фигуры наши герои назвали братцами?(похожи)

(4угольники, все прямые углы, противоположные стороны параллельны, 4 вершины, 4 угла –показывают на доске)

Проблема : Значит, я делаю вывод: любой прямоугольник – это квадрат, а квадрат – это прямоугольник. Согласны ли вы?

(нет, есть различия : У квадрата все стороны равны, а у прямоугольника –противоположные)

4 Сформулируйте определение, что такое прямоугольник. Слайд Комментарий учеников

Прямоугольник это 4угольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны . Не важно почему?

Квадрат это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Квадрат — это четырехугольник, имеющий равные стороны и углы.

Диагональ квадрата — это отрезок, соединяющий две его противоположные вершины.

Параллелограмм , ромб и прямоугольник так же являются квадратом, если они имеют прямые углы, одинаковые длины сторон и диагоналей.

Свойства квадрата

1. Длины сторон квадрата равны.

AB=BC=CD=DA

2. Все углы квадрата прямые.

\angle ABC = \angle BCD = \angle CDA = \angle DAB = 90^{\circ}

3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.

AB \parallel CD, BC \parallel AD

4. Сумма всех углов квадрата равна 360 градусов.

\angle ABC + \angle BCD + \angle CDA + \angle DAB = 360^{\circ}

5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45 градусов.

\angle BAC = \angle BCA = \angle CAD = \angle ACD = 45^{\circ}

Доказательство

Квадрат является ромбом \Rightarrow AC — биссектриса угла A , и он равняется 45^{\circ} . Тогда AC делит \angle A , и \angle C на 2 угла по 45^{\circ} .

6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.

AO = BO = CO = DO

\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle AOD = 90^{\circ}

AC = BD

Доказательство

Так как квадрат это прямоугольник \Rightarrow диагонали равны; так как — ромб \Rightarrow диагонали перпендикулярны. А так как — параллелограмм, \Rightarrow диагонали разделены точкой пересечения пополам.

7. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.

\triangle ABD = \triangle CBD = \triangle ABC = \triangle ACD

8. Обе диагонали делят квадрат на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника.

\triangle AOB = \triangle BOC = \triangle COD = \triangle AOD

9. Если сторона квадрата равна a, то, диагональ будет равна a \sqrt{2} .

Галина Лахина
Конспект НОД по ФЭМП на тему «Квадрат и прямоугольник»

Цель : учить детей различать квадрат и прямоугольник , познакомить с

некоторыми характерными признаками этих фигур : наличие углов,

сторон, их количеством, соотношением сторон по размеру

(у квадрата все стороны равны , у прямоугольника только проти-

воположные стороны равны); учить последовательно выделять

и сравнивать однородные признаки фигур; учить передвигаться в

вательно обследовать форму предметов, упражнять в нахождении

фигур на ощупь.

(Форма которых соответствует знакомым детям геометрическим

образцам : квадрату , прямоугольнику , треугольнику, шару, цилиндру,

Развивать память, внимание.

Воспитывать желание познавать новое.

Демонстрационный материал : модели прямоугольника и квадрата из

бумаги, 6 игрушек разной формы.

Раздаточный материал : Модели квадрата и прямоугольника , но меньшего

размера. (в 1,5 раза демонстрационного)

Ход занятия

1. Восп-ль показывает прямоугольник и квадрат , прикреплённые к

магнитной доске, и спрашивает : - Дети, как называются эти фигуры?

Вы уже научились узнавать прямоугольник и квадрат . Сегодня мы выясним, чем они похожи и чем отличаются. Положите слева перед собой прямоугольник , а справа - квадрат . Давайте рассмотрим прямоугольник : обведите его пальцем. - Что есть у прямоугольника ? Как узнать сколько сторон у прямоугольника ?Сосчитайте стороны. -Сколько у прямоугольника сторон ? Спрашиваю 3ребят, делаю обобщение : - Правильно дети у прямоугольника 4 стороны .

Дети а что ещё есть у прямоугольника ? Посмотрите, я покажу углы прямоугольника , а вы их сосчитайте. Показываю углы, делая веерообразные движение от одной стороны до другой.

Дети, а теперь посчитайте углы своего прямоугольника .

Сколько углов у прямоугольника ? - По скольку углов и сторон у прямоугольника (ответы 2-3 детей)

Дети обведите рукой квадрат . - Что есть у квадрата ?

Сколько сторон, - Сколько углов?

Дети, чем похожи квадрат и прямоугольник ? (ответы детей)

Правильно дети, у квадрата и прямоугольника по 4 стороны и 4угла. Этим они похожи. Пальчиковая гимнастика : «Белый мельник»

Дети, посмотрите одинакового ли размера стороны прямоугольника ?

Есть ли у них равные стороны? Сколько их?

Как доказать что противоположные стороны равны? Правильно, можно согнуть прямоугольник по противоположным сторонам. Совпали они?да, стороны совпали, значит они равны!

Дети покажите две другие противоположные стороны! Докажите что они тоже равны! А смежные стороны равны или нет? (педагого проводит рукой по смежным сторонам) . Как проверить? Правильно прямоугольник нужно согнуть так , чтобы эти смежные стороны приложить друг к другу. (дети выполняют) .

Равны ли эти стороны между собой? (они не равны)

Сколько же равных сторон у прямоугольника (по 2 равных) .

Как расположены эти стороны? (друг напротив друга)

Дети, а что можно сказать о размере сторон квадрата ?

Как проверить все ли стороны квадрата равны ? Верно можно сгибать квадрат , прикладывая одну сторону к другой, и увидеть равны они. Проверьте равны ли стороны квадрата .

Дети скажите, чем отличается квадрат от прямоугольника ?

Верно у квадрата все стороны равны , а у прямоугольника противоположные стороны равны.

А чем похожи похожи квадрат и прямоугольник ? (у квадрата у прямоугольника по 4 угла и 4 стороны) .

Что же мы узнали о квадрате и прямоугольнике (у квадрата 4 угла и 4 стороны , которые равны, у прямоугольника 4 угла и 4 стороны противоположные равны).

3. - Дети мы будем учиться идти в нужном направлении направлении и

Дети назовите предметы такой же формы.

5. Дети занятие у нас заканчивается поэтому давайте вспомним

С какими фигурами мы с вами познакомились?

Чем они похожи и чем различны?