Основные законы действий с рациональными числами. арифметические действия над рациональными числами

Бадамшинская средняя школа №2

Методическая разработка

по математике
в 6 классе

«Действия с рациональными числами»

подготовила

учитель математики

Бабенко Лариса Григорьевна

с. Бадамша
2014

Тема урока: « Действия с рациональными числами ».

Тип урока :

Урок обобщения и систематизации знаний.

Цели урока:

образовательные:

Обобщить и систематизировать знания учащихся о правилах действий над положительными и отрицательными числами;

Закрепить умение применять правила в процессе выполнения упражнений;

Формировать навыки самостоятельной работы;

развивающие:

Развивать логическое мышление, математическую речь, вычислительные навыки; - развивать умение применять полученные знания к решению прикладных задач; - расширение кругозора;

воспитывающие:

Воспитание познавательного интереса к предмету.

Оборудование:

Листы с текстами задач, заданий для каждого ученика;

Математика. Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений/

Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С. И. Щварцбурд. – М., 2010.

План урока:

Организационный момент.

Работа устно

Повторение правил сложения и вычитания чисел с разными знаками. Актуализация знаний.

Решение заданий по учебнику

Выполнение теста

Подведение итогов урока. Постановка домашнего задания

Рефлексия

Ход урока

Организационный момент.

Приветствие учителя и учащихся.

Сообщение темы урока, плана работы на уроке.

Сегодня у нас необычный урок. На этом уроке мы вспомним все правила действий с рациональными числами и умения выполнять операции сложения, вычитания, умножения и деления.

Девизом нашего урока будет китайская притча:

«Скажи мне - и я забуду;

Покажи мне – и я запомню;

Дай сделать – и я пойму»

Я хочу вас пригласить в путешествие.

Среди пространства, где ясно виден восход солнца, тянулась узкая, необитаемая страна – числовая прямая. Неведомо где она начиналась и неведомо где она заканчивалась. И первыми, кто заселил эту страну, были натуральные числа. Какие числа называются натуральными и как они обозначаются?

Ответ:

Числа 1, 2, 3, 4,…..использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называются натуральными ( N ).

Устный счет

88-19 72:8 200-60

Ответы: 134; 61; 2180.

Их было бесконечно много, но и страна была хоть и небольшой в ширину, зато бесконечной в длину, так что поместились все от единицы до бесконечности и образовали первое государство множество натуральных чисел.

Работа над задачей.

Страна была необычайно красивой. Великолепные сады располагались на всей ее территории. Это вишневые, яблочные, персиковые. В один из которых мы сейчас заглянем.

На вишне каждые три дня становится на 20 процентов больше спелых вишенок. Сколько спелых плодов будет на этой вишне через 9 дней, если в начале наблюдения на ней было 250 спелых вишенок?

Ответ: 432 спелых плода будет на этой вишне через 9 дней(300;360;432).

Самостоятельная работа.

На территории первого государства стали поселяться какие то новые числа и эти числа, вместе с натуральными, образовали новое государство, узнаем какое, решив задание.

На столах у учеников два листа:

1. Вычислите:

1)-48+53 2)45-(-23) 3)-7,5:(-0,5) 4)-4х(-15)

1)56:(-8) 2)-3,3-4,7 3)-5,6:(-0,1) 4)9-12

1)48-54 2)37-(-37) 3)-52,7+42,7 4)-6х1/3

1)-12х(-6) 2)-90:(-15) 3)-25+45 4)6-(-10)

Задание: соедините последовательно не отрывая руки все натуральные числа и назовите получившуюся букву.

Ответы к тесту:

5 68 15 60

72 6 20 16

Вопрос: Что означает этот символ? Какие числа называются целыми?

Ответы:1) Слева, от территории первого государства поселилось число 0, левее его -1, еще левее -2 и т.д. до бесконечности. Эти числа образовали вместе с натуральными числами новое расширенное государство множество целых чисел.

2) Натуральные числа, противоположные им числа и нуль называют целыми числами ( Z ).

Повторение изученного .

1) Следующая страничка нашей сказки заколдована. Расколдуем ее, исправляя ошибки.

27 · 4 0 -27 = 27 0 · (-27) = 0

63 3 0 · 40 (-6) · (-6) -625 124

50 · 8 27 -18: (-2)

Ответы:

-27 · 4 27 0 · (-27) = 0

-50 · 8 4 -36: 6

2) Продолжаем слушать сказку.

На свободных местах числовой прямой к ним подселялись дроби 2/5; −4/5; 3,6; −2,2;… Дроби вместе с первопоселенцами образовали очередное расширенное государство множество рациональных чисел. (Q )

1)Какие числа называются рациональными?

2)Является ли любое целое число, десятичная дробь рациональным числом?

3)Покажите, что любое целое число, любая десятичная дробь является рациональным числом.

Задание на доске: 8; 3 ; -6; - ; - 4,2; – 7,36; 0; .

Ответы:

1)Число, которое можно записать в виде отношения , где а – целое число, а п – натуральное число, называют рациональным числом .

2) Да.

3) .

Вам известны теперь целые и дробные, положительные и отрицательные числа, да ещё – число нуль. Все эти числа называют рациональными , что в переводе на русский язык значит «подвластные уму».

Рациональные числа

положительные нуль отрицательные

целые дробные целые дробные

Чтобы в дальнейшем успешно учиться математике (и не только математике), надо хорошо знать правила арифметических действий с рациональными числами, в том числе и правила знаков. А они такие разные! Запутаться недолго.

Физкультминутка.

Динамическая пауза.

Учитель: Любая работа требует перерыва. Отдохнем!

Выполним восстановительные упражнения:

1)Раз, два, три, четыре, пять -

Раз! Подняться, подтянуться,

Два! Согнуться, разогнуться,

Три! В ладоши три хлопка,

Головою три кивка.

На четыре - руки шире.

Пять - руками помахать. Шесть - за парту тихо сесть.

(Дети выполняют движения за учителем по содержанию текста.)

2) Быстро поморгайте, закройте глаза и посидите так, считая до пяти. Повторите 5 раз.

3) Крепко зажмурьте глаза, досчитайте до трех, откройте их и посмотрите вдаль, считая до пяти. Повторите 5 раз.

Историческая страничка.

В жизни, как и в сказке, люди « открывали» рациональные числа постепенно. Вначале при счете предметов возникли натуральные числа. На первых порах их было немного. Сначала возникли только числа 1 и 2. Слова «солист», «солнце», «солидарность» происходят от латинского «солюс» (один). Во многих племенах не было других числительных. Вместо «3» они говорили «один-два», вместо «4»- «два-два». И так до шести. А затем шло «много». С дробями люди столкнулись при разделе добычи, при измерении величин. Чтобы облегчить действия с дробями, были придуманы десятичные дроби. В Европе их ввел в 1585 году голландский математик.

Работа над уравнениями

Фамилию математика узнаете, решив уравнения, и по координатной прямой найдя букву соответствующую данной координате.

1) -2,5 + х = 3,5 2) -0,3 · х = 0,6 3) у – 3,4= -7,4

4) – 0,8: х = -0,4 5)а · (-8) =0 6) m + (- )=

Е А Т М И О В Р Н У С

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

Ответы:

6 (С) 4)2 (В)

-2 (Т) 5) 0 (И)

-4(Е) 6)4 (Н)

СТЕВИН – голландский математик и инженер (Симон Стевин)

Историческая страничка.

Учитель:

Не зная прошлого в развитии науки, нельзя понять её настоящее. Выполнять действия с отрицательными числами люди научились еще до нашей эры. Индийские математики представляли себе положительные числа как «имущества», а отрицательные числа как «долги». Вот как индийский математик Брахмагупта (VII в.) излагал некоторые правила выполнения действий с положительными и отрицательными числами:

«Сумма двух имуществ есть имущество»,

«Сумма двух долгов есть долг»,

«Сумма имущества и долга равна их разности»,

«Произведение двух имуществ или двух долгов есть имущество», «Произведение имущества и долга есть долг».

Ребята, переведите, пожалуйста, древнеиндийские правила на современный язык.

Сообщение учителя:

Как нет на свете без солнца тепла,

Без снега зимы и без листьев цветов,

Так нет в математике действий без знаков!

Ребятам предлагается отгадать, какой знак действия пропущен.

Задание. Вставьте пропущенный знак.

− 1,3 2,8 = 1,5

1. − 1,2 1,4 = − 2,6

   3,2 (− 8) = − 0,4

   1 (− 1,7) = 2,7

   − 4,5 (− 0,5) = 9

Ответы: 1) + 2) ∙ 3) − 4) : 5) − 6) :

Самостоятельная работа (на листе записывают ответы к заданиям):

Сравнить числа

найти их модули

сравнить с нулем

найти их сумму

найти их разность

найти произведение

найти частное

написать числа, противоположные им

найти расстояние между этими числами

10) сколько целых чисел расположено между ними

11) найти сумму всех целых чисел, расположенных между ними.

Критерии оценок: решено все верно – «5»

1-2 ошибки - «4»

3-4 ошибки - «3»

более 4 ошибок - «2»

Индивидуальная работа по карточкам (дополнительно).

Карточка 1. Решите уравнение: 8,4 – (х – 3,6)=18

Карточка 2. Решите уравнение: -0,2х · (-4) = -0,8

Карточка 3. Решите уравнение: =

Ответы к карточкам :

1) 6; 2) -1; 3) 4/15.

Игра «Экзамен» .

Жители страны жили весело, играли в игры, решали задачи, уравнения и предлагают нам поиграть с целью подведения итогов.

Учащиеся подходят к доске берут карточку и отвечают на вопрос, записанный с обратной стороны.

Вопросы:

1. Какое из двух отрицательных чисел считают большим?

2.Сформулируйте правило деления отрицательных чисел.

3.Сформулируйте правило умножения отрицательных чисел.

4. Сформулируйте правило умножения чисел, имеющих разные знаки.

5. Сформулируйте правило деления чисел, имеющих разные знаки.

6.Сформулируйте правило сложения отрицательных чисел.

7. Сформулируйте правило сложения чисел с разными знаками.

8.Как найти длину отрезка на координатной прямой?

9.Какие числа называются целыми?

10. Какие числа называются рациональными?

Подведение итогов.

Учитель: Сегодня домашнее задание будет творческим:

Подготовить сообщение «Положительные и отрицательные числа вокруг нас» или сочинить сказку.

« Спасибо за урок!!!»

Понятие о числах относится к абстракциям, характеризующим объект с количественной точки зрения. Еще в первобытном обществе у людей возникла потребность в счете предметов, поэтому появились численные обозначения. В дальнейшем они стали основой математики как науки.

Чтобы оперировать математическими понятиями, необходимо, прежде всего, представлять, какие же бывают числа. Основных видов чисел несколько. Это:

1. Натуральные - те, которые мы получаем при нумерации предметов (их естественном счете). Их множество обозначают N.

2. Целые (их множество обозначается буквой Z). Сюда относятся натуральные, противоположные им целые отрицательные числа и нуль.

3. Рациональные числа (буква Q). Это те, которые возможно представить в виде дроби, числитель которой равняется целому числу, а знаменатель - натуральному. Все целые и относятся к рациональным.

4. Действительные (их обозначают буквой R). Они включают в себя рациональные и иррациональные числа. Иррациональными называются числа, полученные из рациональных путем различных операций (вычисление логарифма, извлечение корня), сами не являющиеся рациональными.

Таким образом, любое из перечисленных множеств является подмножеством нижеперечисленного. Иллюстрацией данного тезиса служит диаграмма в виде т. н. кругов Эйлера. Рисунок представляет собой несколько концентрических овалов, каждый из которых расположен внутри другого. Внутренний, самый малый по размеру овал (область) обозначает множество натуральных чисел. Его полностью охватывает и включает в себя область, символизирующая множество целых чисел, которая, в свою очередь, заключена внутри области рациональных чисел. Внешний, самый большой овал, включающий в себя все остальные, обозначает массив

В данной статье мы рассмотрим множество рациональных чисел, их свойства и особенности. Как уже упоминалось, к ним принадлежат все существующие числа (положительные, а также отрицательные и нуль). Рациональные числа составляют бесконечный ряд, имеющий следующие свойства:

Данное множество упорядочено, то есть, взяв любую пару чисел из этого ряда, мы всегда можем узнать, какое из них больше;

Взяв любую пару таких чисел, мы всегда можем поместить между ними как минимум еще одно, а, следовательно, и целый ряд таковых - таким образом, рациональные числа представляют собой бесконечный ряд;

Все четыре арифметических действия над такими числами возможны, результатом их всегда является определенное число (также рациональное); исключение составляет деление на 0 (нуль) - оно невозможно;

Любые рациональные числа могут быть представлены в виде десятичных дробей. Эти дроби могут быть либо конечными, либо бесконечными периодическими.

Чтобы сравнить два числа, относящихся к множеству рациональных, необходимо помнить:

Любое положительное число больше нуля;

Любое отрицательное число всегда меньше нуля;

При сравнении двух отрицательных рациональных чисел больше то из них, чья абсолютная величина (модуль) меньше.

Как производятся действия с рациональными числами?

Чтобы сложить два таких числа, имеющих одинаковый знак, нужно сложить их абсолютные величины и поставить перед суммой общий знак. Для сложения чисел с разными знаками следует из большего значения вычесть меньшее и поставить знак того из них, чье абсолютное значение больше.

Для вычитания одного рационального числа из другого достаточно к первому числу прибавить противоположное второму. Для умножения двух чисел нужно перемножить значения их абсолютных величин. Полученный результат будет положительным, если сомножители имеют один и тот же знак, и отрицательным, если разные.

Деление производится аналогично, то есть находится частное абсолютных величин, а перед результатом ставится знак «+» в случае совпадения знаков делимого и делителя и знак «-» в случае их несовпадения.

Степени рациональных чисел выглядят как произведения нескольких сомножителей, равных между собой.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА II

§ 36 Действия над рациональными числами

Как известно, две дроби m / n и k / l равны, то есть изображают одно и то же рациональное число, в том и только в том случае, когда ml = nk .

Например, 1 / 3 = 2 / 6 , так как 1 6 = 3 2; -5 / 7 = 10 / - 14 , поскольку (-5) (- 14) = 7 10; 0 / 1 = 0 / 5 , так как 0 5 = 1 0 и т. д.

Очевидно, что для любого целого числа r , не равного 0,

: m / n = m r / n r

Это вытекает из очевидного равенства т (п r ) = п (т r ). Поэтому любое рациональное число можно представить в виде отношения двух чисел бесконечным числом способов. Например,

5 = 5 / 1 = -10 / -2 = 15 / 3 и т. д,

1 / 7 = 2 / -14 = -3 / 21 = -100 / 700 и т. д.

0 = 0 / 1 = 0 / -2 = 0 / 3 = 0 / 100 и т. д.

В множестве всех рациональных чисел выполнимы действия сложения, умножения, вычитания и деления (кроме деления на нуль). Напомним, как определяются эти действия.

Сумма двух рациональных чисел m / n и k / l определяется формулой :

Произведение двух рациональных чисел m / n и k / l определяется формулой :

m / n k / l = mk / nl (2)

Поскольку одно и то же рациональное число допускает несколько записей (например, 1 / 3 = 2 / 6 = 3 / 9 = ...) следовало бы показать, что сумма и произведение рациональных чисел не зависят от того, как записаны слагаемые или сомножители. Например,

1 / 2 + 1 / 3 = 2 / 4 + 3 / 9 ; 1 / 2 1 / 3 = 3 / 6 2 / 6

и т. д. Однако рассмотрение этих вопросов выходит за пределы нашей программы.

При сложении и умножении рациональных чисел соблюдаются следующие основные законы:

1) коммутативный (или переместительный) закон сложения

m / n + k / l = k / l + m / n

2) ассоциативный (или сочетательный) закон сложения:

( m / n + k / l ) + p / q = m / n + ( k / l + p / q )

3) коммутативный (или переместительный) закон умножения:

m / n k / l = k / l m / n

4) ассоциативный (или сочетательный) закон умножения:

( m / n k / l ) p / q = m / n ( k / l p / q )

5) дистрибутивный (или распределительный) закон умножения относительно сложения:

( m / n + k / l ) p / q = m / n p / q + k / l p / q

Сложение и умножение являются основными алгебраическими действиями. Что же касается вычитания и деления, то эти действия определяются как обратные по отношению к сложению и умножению.

Разностью двух рациональных чисел m / n и k / l называется такое число х , которое в сумме с k / l дает m / n . Другими словами, разность m / n - k / l

k / l + x = m / n

Можно доказать, что такое уравнение всегда имеет корень и притом только один:

Таким образом, разность двух чисел m / n и k / l находится по формуле:

Если числа m / n и k / l равны между собой, то разность их обращается в нуль; если же эти числа не равны между собой, то разность их либо положительна, либо отрицательна. При m / n - k / l > 0 говорят, что число m / n больше числа k / l ; если же m / n - k / l < 0, то говорят, что число m / n меньше числа k / l .

Частным от деления рационального числа m / n на рациональное число k / l называется такое число х , которое в произведении с k / l дает m / n . Другими словами, частное m / n : k / l определяется как корень уравнения

k / l х = m / n .

Если k / l =/= 0, то данное уравнение имеет единственный корень

х = ml / nk

Если же k / l = 0, то это уравнение либо совсем не имеет корней (при m / n =/= 0), либо имеет бесконечно много корней (при m / n = 0). Желая сделать операцию деления выполнимой однозначно, условимся не рассматривать вовсе деление на нуль. Таким образом, деление рационального числа m / n на рациональное число k / l определено всегда, если только k / l =/= 0. При этом

m / n : k / l = ml / nk

Упражнения

295. Вычислить наиболее рациональным способом и указать, какими законами действий приходится при этом пользоваться;

а) (5 1 / 12 - 3 1 / 4) 24; в) (333 1 / 3 4) (3 / 125 1 / 16) .

б) (1 / 10 - 3 1 / 2) + 9 / 10

В данном уроке рассматривается сложение и вычитание рациональных чисел. Тема относится к категории сложных. Здесь необходимо использовать весь арсенал полученных ранее знаний.

Правила сложения и вычитания целых чисел справедливы и для рациональных чисел. Напомним, что рациональными называют числа, которые могут быть представлены в виде дроби , где a – это числитель дроби, b – знаменатель дроби. При этом, b не должно быть нулём.

В данном уроке дроби и смешанные числа мы всё чаще будем называть одним общим словосочетанием — рациональные числа .

Навигация по уроку:

Пример 1. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить знак того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих дробей до их вычисления:

Модуль рационального числа больше, чем модуль рационального числа . Поэтому мы из вычли . Получили ответ . Затем сократив эту дробь на 2, получили окончательный ответ .

Некоторые примитивные действия, такие как: заключение чисел в скобки и проставление модулей, можно пропустить. Данный пример вполне можно записать покороче:

Пример 2. Найти значение выражения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус, стоящий между рациональными числами и является знаком операции и не относится к дроби . У этой дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы запишем его для наглядности:

Заменим вычитание сложением. Напомним, что для этого нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус:

Примечание. Заключать в скобки каждое рациональное число вовсе необязательно. Делается это для удобства, чтобы хорошо видеть какие знаки имеют рациональные числа.

Пример 3. Найти значение выражения:

В этом выражении у дробей разные знаменатели. Чтобы облегчить себе задачу, приведём эти дроби к общему знаменателю. Не будем подробно останавливаться на том, как это сделать. Если испытываете трудности, обязательно повторите урок .

После приведения дробей к общему знаменателю выражение примет следующий вид:

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 4. Найти значение выражения

Вычислим данное выражение в следующем : слóжим рациональные числа и , затем из полученного результата вычтем рациональное число .

Первое действие:

Второе действие:

Пример 5 . Найти значение выражения:

Представим целое число −1 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычитаем из большего модуля меньший модуль, и перед полученным ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Получили ответ .

Есть и второй способ решения. Он заключается в том, чтобы сложить отдельно целые части.

Итак, вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое число в скобки. Для этого смешанное число временно :

Вычислим целые части:

(−1) + (+2) = 1

В главном выражении вместо (−1) + (+2) запишем полученную единицу:

Полученное выражение . Для этого запишем единицу и дробь вместе:

Запишем решение этим способом покороче:

Пример 6. Найти значение выражения

Переведём смешанное число в неправильную дробь. Остальную часть перепишем без изменения:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Запишем решение данного примера покороче:

Пример 7. Найти значение выражение

Представим целое число −5 в виде дроби , а смешанное число переведём в неправильную дробь:

Приведём данные дроби к общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Таким образом, значение выражения равно .

Решим данный пример вторым способом. Вернемся к изначальному выражению:

Запишем смешанное число в развёрнутом виде. Остальное перепишем без изменений:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Вычислим целые части:

В главном выражении вместо запишем полученное число −7

Выражение является развёрнутой формой записи смешанного числа . Запишем число −7 и дробь вместе, образуя окончательный ответ:

Запишем это решение покороче:

Пример 8. Найти значение выражения

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Таким образом, значение выражения равно

Данный пример можно решить и вторым способом. Он заключается в том, чтобы сложить целые и дробные части по отдельности. Вернёмся к изначальному выражению:

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус. Но в этот раз слóжим по отдельности целые части (−1 и −2), и дробные и

Запишем это решение покороче:

Пример 9. Найти выражения выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе своим знаком. Рациональное число в скобки заключать не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим модули этих чисел и перед полученным ответом поставим минус:

Таким образом, значение выражения равно

Теперь попробуем решить этот же пример вторым способом, а именно сложением целых и дробных частей по отдельности.

В этот раз, в целях получения короткого решения, попробуем пропустить некоторые действия, такие как: запись смешанного числа в развёрнутом виде и замена вычитания сложением:

Обратите внимание, что дробные части были приведены к общему знаменателю.

Пример 10. Найти значение выражения

Заменим вычитание сложением:

В получившемся выражении нет отрицательных чисел, которые являются основной причиной допущения ошибок. А поскольку нет отрицательных чисел, мы можем убрать плюс перед вычитаемым, а также убрать скобки:

Получилось простейшее выражение, которое вычисляется легко. Вычислим его любым удобным для нас способом:

Пример 11. Найти значение выражения

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Пример 12. Найти значение выражения

Выражение состоит из нескольких рациональных чисел. Согласно , в первую очередь необходимо выполнить действия в скобках.

Сначала вычислим выражение , затем выражение Полученные результаты слóжим.

Первое действие:

Второе действие:

Третье действие:

Ответ: значение выражения равно

Пример 13. Найти значение выражения

Переведём смешанные числа в неправильные дроби:

Заключим рациональное число в скобки вместе со своим знаком. Рациональное число заключать в скобки не нужно, поскольку оно уже в скобках:

Приведём данные дроби в общему знаменателю. После их приведения к общему знаменателю, они примут следующий вид:

Заменим вычитание сложением:

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед полученными ответом поставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

Таким образом, значение выражения равно

Рассмотрим сложение и вычитание десятичных дробей, которые тоже относятся к рациональным числам и которые могут быть как положительными, так и отрицательными.

Пример 14. Найти значение выражения −3,2 + 4,3

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что плюс который дан в выражении, является знаком операции и не относится к десятичной дроби 4,3. У этой десятичной дроби свой знак плюса, который невидим по причине того, что его не записывают. Но мы его запишем для наглядности:

(−3,2) + (+4,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Чтобы сложить рациональные числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший модуль, и перед полученным ответом поставить того рационального числа, модуль которого больше. А чтобы понять какой модуль больше, а какой меньше, нужно суметь сравнить модули этих десятичных дробей до их вычисления:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2 поэтому мы из 4,3 вычли 3,2. Получили ответ 1,1. Ответ положителен, поскольку перед ответом должен стоять знак того рационального числа, модуль которого больше. А модуль числа 4,3 больше, чем модуль числа −3,2

Таким образом, значение выражения −3,2 + (+4,3) равно 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Пример 15. Найти значение выражения 3,5 + (−8,3)

Это сложение рациональных чисел с разными знаками. Как и в прошлом примере из большего модуля вычитаем меньший и перед ответом ставим знак того рационального числа, модуль которого больше:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Таким образом, значение выражения 3,5 + (−8,3) равно −4,8

Этот пример можно записать покороче:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Пример 16. Найти значение выражения −7,2 + (−3,11)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Чтобы сложить отрицательные рациональные числа, нужно сложить их модули и перед полученным ответом поставить минус.

Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Таким образом, значение выражения −7,2 + (−3,11) равно −10,31

Этот пример можно записать покороче:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Пример 17. Найти значение выражения −0,48 + (−2,7)

Это сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус. Запись с модулями можно пропустить, чтобы не загромождать выражение:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Пример 18. Найти значение выражения −4,9 − 5,9

Заключим каждое рациональное число в скобки вместе со своими знаками. Учитываем, что минус который располагается между рациональными числами −4,9 и 5,9 является знаком операции и не относится к числу 5,9. У этого рационального числа свой знак плюса, который невидим по причине того, что он не записывается. Но мы запишем его для наглядности:

(−4,9) − (+5,9)

Заменим вычитание сложением:

(−4,9) + (−5,9)

Получили сложение отрицательных рациональных чисел. Слóжим их модули и перед полученным ответом поставим минус:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Таким образом, значение выражения −4,9 − 5,9 равно −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Пример 19. Найти значение выражения 7 − 9,3

Заключим в скобки каждое число вместе со своими знаками

(+7) − (+9,3)

Заменим вычитание сложением

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Таким образом, значение выражения 7 − 9,3 равно −2,3

Запишем решение этого примера покороче:

7 − 9,3 = −2,3

Пример 20. Найти значение выражения −0,25 − (−1,2)

Заменим вычитание сложением:

−0,25 + (+1,2)

Получили сложение рациональных чисел с разными знаками. Вычтем из большего модуля меньший модуль, и перед ответом поставим знак того числа, модуль которого больше:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Запишем решение этого примера покороче:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Пример 21. Найти значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1)

Выполним действия в скобках, затем слóжим полученный ответ с числом −3,5

Первое действие:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Второе действие:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Ответ: значение выражения −3,5 + (4,1 − 7,1) равно −6,5.

Пример 22. Найти значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)

Выполним действия в скобках. Затем из числа, которое получилось в результате выполнения первых скобок, вычтем число, которое получилось в результате выполнения вторых скобок:

Первое действие:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Второе действие:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Третье действие

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Ответ: значение выражения (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) равно 6.

Пример 23. Найти значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Заключим в скобки каждое рациональное число вместе со своими знаками

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Заменим вычитание сложением там, где это можно:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Выражение состоит из нескольких слагаемых. Согласно сочетательному закону сложения, если выражение состоит из нескольких слагаемых, то сумма не будет зависеть от порядка действий. Это значит, что слагаемые можно складывать в любом порядке.

Не будем изобретать велосипед, а слóжим все слагаемые слева направо в порядке их следования:

Первое действие:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Второе действие:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Третье действие:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Ответ: значение выражения −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 равно 1.

Пример 24. Найти значение выражения

Переведём десятичную дробь −1,8 в смешанное число. Остальное перепишем без изменения: