Произведение чисел правило. Произведение (математика)

Задача 1.2
Даны два целых числа Х и Т. Если они имеют разные знаки, то присвоить Х значение произведения этих чисел, а Т - значение их разности по модулю. Если числа имеют одинаковые знаки, то присвоить Х значение разности по модулю исходных чисел, а Т - значение произведения этих чисел. Новые значения Х и Т вывести на экран.

Задача тоже несложная. “Непонятки” могут возникнуть только в том случае, если вы забыли, что такое разность по модулю (надеюсь, что такое произведение двух целых чисел, вы всё-таки помните))).

Разность по модулю двух чисел

Разность по модулю двух целых чисел (хотя не обязательно целых - это не имеет значения, просто в нашей задаче числа целые) - это, говоря по простому, когда итогом вычисления является модуль разности двух чисел.

То есть сначала выполняется операция вычитания одного числа из другого. А затем вычисляется модуль результата этой операции.

Математически это можно записать так:

Если кто забыл, что такое модуль или как его вычислить в Паскале, то см. .

Алгоритм определения знаков двух чисел

Решение задачи в целом довольно простое. Трудность у новичков может вызвать лишь определение знаков двух чисел. То есть надо ответить на вопрос: как узнать, имеют числа одинаковые знаки или разные.

Сначала напрашивается поочерёдное сравнение чисел с нулём. Это допустимо. Но исходный код будет довольно большим. Поэтому более правильно использовать такой алгоритм:

1. Умножить числа друг на друга
2. Если результат меньше нуля, значит у чисел разные знаки
3. Если результат равен нулю или больше нуля, то у чисел одинаковые знаки

Этот алгоритм я выполнил в виде отдельной . А сама программа получилась такой, как показано в примерах на Паскале и С++ ниже.

Решение задачи 1.2 на Паскале program checknums; var A, X, T: integer; //**************************************************************** // Проверяет, имеют ли числа N1 и N2 одинаковые знаки. Если да, то // возвращает TRUE, иначе - FALSE //**************************************************************** function ZnakNumbers(N1, N2: integer) : boolean; begin := (N1 * N2) >= 0; end; //**************************************************************** // ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА //**************************************************************** begin Write("X = "); ReadLn(X); Write("T = "); ReadLn(T); if ZnakNumbers(X, T) then //Если числа имеют одинаковые знаки begin A:= (X - T); //Получить разность по модулю исходных чисел T:= X * T; end else //Если числа имеют разные знаки begin A:= X * T; T:= Abs(X - T); end; X:= A; //Записать в Х значение А WriteLn("X = ", X); //Вывести Х WriteLn("T = ", T); //Вывести Т WriteLn("The end. Press ENTER..."); ReadLn; end.

Решение задачи 1.2 на С++ #include #include using namespace std; int A, X, T; //**************************************************************** // Проверяет, имеют ли числа N1 и N2 одинаковые знаки. Если да, то // возвращает TRUE, иначе - FALSE //**************************************************************** bool ZnakNumbers(int N1, int N2) { return ((N1 * N2) >= 0); } //**************************************************************** // ОСНОВНАЯ ПРОГРАММА //**************************************************************** int main(int argc, char *argv) { cout > X; cout > T; if (ZnakNumbers(X, T)) //Если числа имеют одинаковые знаки { A = abs(X - T); //Получить разность по модулю исходных чисел T = X * T; } else //Если числа имеют разные знаки { A = X * T; T = abs(X - T); } X = A; //Записать в Х значение А cout

Оптимизация

Эту простую программу можно ещё немного упростить, если не использовать функцию и немного переделать исходный код программы. При этом общее количество строк исходного кода немного сократится. Как это сделать - подумайте сами.

Одинаковых слагаемых. Например, запись 5*3 обозначает «5 сложить с собой 3 раза», то есть является просто краткой записью для 5+5+5. Результат умножения называется произведением , а умножаемые числа - множителями или сомножителями . Существуют также таблицы умножения .

Запись

Умножение обозначается звездочкой * , крестиком или точкой . Записи

обозначают одно и то же. Знак умножения часто пропускают, если это не приводит к путанице. Например, вместо обычно пишут .

Если сомножителей много, то часть их можно заменить многоточием. Например, произведение целых чисел от 1 до 100 может быть записано как

В буквенной записи применяется также символ произведения:

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Произведение (математика)" в других словарях:

- (математика) результат умножения. Произведение искусства. Музыкальное произведение. Аудиовизуальное произведение. Служебное произведение … Википедия

Произведение двух или более объектов это обобщение в теории категорий таких понятий, как декартово произведение множеств, прямое произведение групп и произведение топологических пространств. Произведение семейства объектов это в… … Википедия

Произведение Кронекера бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается. Результатом является блочная матрица. Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого… … Википедия

История науки По тематике Математика Естественные науки … Википедия

I. Определение предмета математики, связь с другими науками и техникой. Математика (греч. mathematike, от máthema знание, наука), наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. «Чистая … Большая советская энциклопедия

Теория категорий раздел математики, изучающий свойства отношений между математическими объектами, не зависящие от внутренней структуры объектов. Некоторые математики[кто?] считают теорию категорий слишком абстрактной и непригодной для… … Википедия

Вектор У этого термина существуют и другие значения, см. Вектор … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. функция. Запрос «Отображение» перенаправляется сюда; см. также другие значения … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Операция. Операция отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин «операция» как правило применяется к… … Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Ротор. Ротор, или вихрь векторный дифференциальный оператор над векторным полем. Обозначается (в русскоязычной литературе) или (в англоязычной литературе), а также как векторное умножение … Википедия

Книги

• Комплект таблиц. Математика. 4 класс. 8 таблиц + методика , . Учебный альбом из 8 листов (формат 68 х 98 см): - Доли. - Умножение и деление числа на произведение. - Сложение и вычитание величин. - Умножение и деление величин. - Письменное умножение на…
• Кирик Новгородец - русский ученый XII века в отечественной книжной культуре , Симонов Р.А.. Книга посвящена жизни и деятельности первого известного по имени русского математика и календареведа, новгородского монаха Кирика (1110 - после 1156), написавшего в 1136 г. научный трактат,…

Для решения многих задач "на максимум и минимум", т.е. на разыскание наибольшего и наименьшего значений переменной величины, можно успешно пользоваться некоторыми алгебраическими утверждениями, с которыми мы сейчас познакомимся.

x · y

Рассмотрим следующую задачу:

На какие две части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?

Пусть данное число а . Тогда части, на которые разбито число а , можно обозначить через

а / 2 + x и a / 2 - x ;

число х показывает, на какую величину эти части отличаются от половины числа а . Произведение обеих частей равно

( а / 2 + x ) · ( a / 2 - x ) = a 2 / 4 - x 2 .

Ясно, что произведение взятых частей будет увеличиваться при уменьшении х , т.е. при уменьшении разности между этими частями. Наибольшим произведение будет при x = 0 , т.е. в случае, когда обе части равны a / 2 .

Итак,

произведение двух чисел, сумма которых неизменна, будет наибольшим тогда, когда эти числа равны между собой.

x · y · z

Рассмотрим тот же вопрос для трех чисел.

На какие три части надо разбить данное число, чтобы произведение их было наибольшим?

При решении этой задачи будем опираться на предыдущую.

Пусть число а разбито на три части. Предположим сначала, что ни одна из частей не равна a / 3 .Тогда среди них найдется часть, большая a / 3 (все три не могут быть меньше a / 3 ); обозначим ее через

a / 3 + x .

Точно так же среди них найдется часть, меньшая a / 3 ; обозначим ее через

a / 3 - y .

Числа х и у положительны. Третья часть будет, очевидно, равна

a / 3 + y - x .

Числа a / 3 и a / 3 + x - y имеют ту же сумму, что и первые две части числа а , а разность между ними, т.е. х - y , меньше, чем разность между первыми двумя частями, которая была равна х + y . Как мы знаем из решения предыдущей задачи, отсюда следует, что произведение

a / 3 · ( a / 3 + x - y )

больше, чем произведение первых двух частей числа а .

Итак, если первые две части числа а заменить числами

a / 3 и a / 3 + x - y ,

а третью оставить без изменения, то произведение увеличится.

Пусть теперь одна из частей уже равна a / 3 . Тогда две другие имеют вид

a / 3 + z и a / 3 - z .

Если мы эти две последние части сделаем равными a / 3 (отчего сумма их не изменится), то произведение снова увеличится и станет равным

a / 3 · a / 3 · a / 3 = a 3 / 27 .

Итак,

если число а разбито на 3 части, не равные между собой, то произведение этих частей меньше чем а 3 / 27 , т.е. чем произведение трех равных сомножителей, в сумме составляющих а .

Подобным же образом можно доказать эту теорему и для четырех множителей, для пяти и т.д.

x p · y q

Рассмотрим теперь более общий случай.

При каких значениях х и y выражение х p у q наибольшее, если х + y = а ?

Надо найти, при каком значении х выражение

х р · (а - х ) q

достигает наибольшей величины.

Умножим это выражение на число 1 / р p q q . Получим новое выражение

x p / p p · (a - x ) q / q q ,

которое, очевидно, достигает наибольшей величины тогда же, когда и первоначальное.

Представим полученное сейчас выражение в виде

(a - x ) / q · (a - x ) / q · ... · (a - x ) / q ,

где множители первого вида повторяются p раз, а второго - q раз.

Сумма всех множителей этого выражения равна

x / p + x / p + ... + x / p + (a - x ) / q + (a - x ) / q + ... + (a - x ) / q =

= px / p + q ( a - x ) / q = x + a - x = a ,

т.е. величине постоянной.

На основании ранее доказанного заключаем, что произведение

x / p · x / p · ... · x / p · (a - x ) / q · (a - x ) / q · ... · (a - x ) / q

достигает максимума при равенстве всех его отдельных множителей, т.е. когда

x / p = (a - x ) / q .

Зная, что а - х = y , получаем, переставив члены, пропорцию

x / y = p / q .

Итак,

произведение х p y q при постоянстве суммы х + у достигает наибольшей величины тогда, когда

x: y = p: q .

Таким же образом можно доказать, что

произведения

x p y q z r , x p y q z r t u и т.п.

при постоянстве сумм x + y + z , x + y + z + t и т.д. достигают наибольшей величины тогда, когда

х: у: z = p: q: r , х: у: z: t = p: q: r: u и т.д.

Если концертный зал освещается 3 люстрами по 25 лампочек в каждой, то всего лампочек в этих люстрах будет 25 + 25 + 25, то есть 75.

Сумму, в которой все слагаемые равны друг другу, записывают короче: вместо 25 + 25 + 25 пишут 25 3. Значит, 25 3 = 75 (рис. 43). Число 75 называют произведением чисел 25 и 3, а числа 25 и 3 называют множителями .

Рис. 43. Произведение чисел 25 и 3

Умножить число m на натуральное число n – значит найти сумму n слагаемых, каждое из которых равно m.

Выражение m n и значение этого выражения называют произведением чисел m и n . Числа, которые перемножают называют множителями . Т.е. m и n – множители.

Произведения 7 4 и 4 7 равны одному и тому же числу 28 (рис. 44).

Рис. 44. Произведение 7 4 = 4 7

1. Произведение двух чисел не изменяется при перестановке множителей .

переместительным

a × b = b × a .

Произведения (5 3) 2 = 15 2 и 5 (3 2) = 5 6 имеют одно и то же значение 30. Значит, 5 (3 2) = (5 3) 2 (рис. 45).

Рис. 45. Произведение (5 3) 2 = 5 (3 2)

2. Чтобы умножить число на произведение двух чисел, можно сначала умножить его на первым множитель, а потом полученное произведение умножить на второй множитель.

Это свойство умножения называют сочетательным . С помощью букв его записывают так:

а (b с) = (а b с).

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно 1, равна n. Поэтому верно равенство 1 n = n.

Сумма n слагаемых, каждое из которых равно нулю, равна нулю. Поэтому верно равенство 0 n = 0.

Чтобы переместительное свойство умножения было верно при n = 1 и n = 0, условились, что m 1 = m и m 0 = 0.

Перед буквенными множителями обычно не пишут знак умножения: вместо 8 х пишут 8х , вместо а b пишут а b .

Опускают знак умножения и перед скобками. Например, вместо 2 (а + b ) пишут 2(а+ b ) , а вместо (х + 2) (у + 3) пишут (х + 2) (у + 3).

Вместо (ab ) с пишут abc .

Когда в записи произведения нет скобок, умножение выполняют по порядку слева направо.

Произведения читают, называя каждый множитель в родительном падеже. Например:

1) 175 60 – произведение ста семидесяти пяти и шестидесяти;

2) 80 (х + 1 7) – произведение р.п. р.п.

восьмидесяти и суммы икс и семнадцати

Решим задачу.

Сколько трехзначных чисел (рис. 46) можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, если цифры в записи числа не повторяются?

Решение.

Первой цифрой числа может быть любая из четырех данных цифр, второй – любая из трех других, а третьей – любая из двух оставшихся. Получается:

Рис. 46. К задаче о составлении трехзначных чисел

Всего из данных цифр можно составить 4 3 2 = 24 трехзначных числа.

Решим задачу.

В правление фирмы входят 5 человек. Из своего состава правление должно выбрать президента и вице-президента. Сколькими способами это можно сделать?

Решение.

Президентом фирмы можно избрать одного из 5 человек:

Президент:

После того как президент избран, вице-президентом можно выбрать любого из четырех оставшихся членов правления (рис. 47):

	Президент: Вице-президент:

Рис. 47. К задаче о выборах

Значит, выбрать президента можно пятью способами, и для каждого выбранного президента четырьмя способами можно выбрать вице-президента. Следовательно, общее число способов выбрать президента и вице-президента фирмы равно: 5 4 = 20 (см. рис. 47).

Решим еще задачу.

Из села Аникеево в село Большово ведут четыре дороги, а из села Большово в село Виноградове – три дороги (рис. 48). Сколькими способами можно добраться из Аникеева в Виноградове через село Большово?

Рис. 48. К задаче о дорогах

Решение.

Если из А в Б добираться по 1-й дороге, то продолжить путь есть три способа (рис. 49).

Рис. 49. Варианты пути

Точно так же рассуждая, получаем по три способа продолжить путь, начав добираться и по 2-й, и по 3-й, и по 4-й дороге. Значит, всего получается 4 3 = 12 способов добраться из Аникеева в Виноградове.

Решим еще одну задачу.

Семье, состоящей из бабушки, папы, мамы, дочери и сына, подарили 5 разных чашек. Сколькими способами можно разделить чашки между членами семьи?

Решение . У первого члена семьи (например, бабушки) есть 5 вариантов выбора, у следующего (пусть это будет папа) остается 4 варианта выбора. Следующий (например, мама) будет выбирать уже из 3 чашек, следующий – из двух, последний же получает одну оставшуюся чашку. Покажем эти способы на схеме (рис. 50).

Рис. 50. Схема к решению задачи

Получили, что каждому выбору чашки бабушкой соответствует четыре возможных выбора папы, т.е. всего 5 4 способов. После того как папа выбрал чашку, у мамы есть три варианта выбора, у дочери – два, у сына – один, т.е. всего 3 2 1 способов. Окончательно получаем, что для решения задачи надо найти произведение 5 4 3 2 1.

Заметим, что получили произведение всех натуральных чисел от 1 до 5. Такие произведения записывают короче:

5 4 3 2 1 = 5! (читают: «пять факториал»).

Факториал числа – произведение всех натуральных чисел от 1 до этого числа.

Итак, ответ задачи: 5! = 120, т.е. чашки между членами семьи можно распределить ста двадцатью способами.