Структура некоторых числовых множеств. Структура некоторых числовых множеств Парадоксы континуума Зенона и решение их Аристотелем

Покончив, таким образом, с вопросом о континууме одного измерения, я считаю последовательным обратиться к континууму двух измерений. Прежде всякий конечно, думал, что плоскость содержит больше точек, чем прямая; поэтому все были крайне удивлены, когда Кантор показал, что мощность двумерного континуума в точности равна мощности континуума одного измерения Если вместо возьмем квадрат со. стороной 1, а вместо - отрезок длиной единица, то следует доказать возможность установить между точками обоих множеств взаимно однозначное соответствие (рис. 125).

Причина того, что это утверждение представляется таким парадоксальным, заключается, вероятно, в трудности освободиться от представления об известной непрерывности соответствия, а между тем в действительности то соответствие, которое мы имеем в виду установить, оказывается в высшей мере разрывным или, если хотите, неорганическим. Образно говоря, оно в такой мере разрушает, кроме «мощности», все, что является характерным для плоского и для линейного образов как таковых, как если бы все точки квадрата насыпали в мешок и затем самым основательным образом перемешали их.

Множество точек квадрата совпадает с множеством всех пар десятичных дробей вида

которые мы, как и раньше, предполагаем написанными в бесконечном виде. Следовательно, мы исключаем те пограничные точки, для которых одна из координат у обращается в нуль; иными словами, исключаем обе стороны квадрата, примыкающие к началу координат О, между тем как обе другие стороны сохраняем. Но нетрудно убедиться в том, что это не изменяет мощности множества точек. И вот основная идея доказательства Кантора заключается в том, чтобы слить обе эти десятичные дроби в одну новую десятичную дробь z, по которой в свою очередь можно было бы однозначно определить х, у и которая принимала бы ровно по одному разу все значения когда точка один раз пробегает по всему квадрату. Если рассматривать z как абсциссу, то получим тем самым требуемое взаимно однозначное соответствие квадрата и единичного отрезка при этом в соответствии с соглашениями относительно квадрата у этого отрезка принимаем во внимание только одну конечную точку

Такое слияние двух координат у в одну мы попытаемся сначала получить тем, что положим

действительно, из этой дроби можно, отделяя четные и нечетные десятичные знаки, восстановить однозначным образом .

Но тут ввиду двоякого способа написания десятичных дробей возникает следующее возражение: такое z не пробегает всего ряда значений когда пробегает все пары бесконечных десятичных дробей, т. е. все множество точек действительно, хотя при этом для z всегда получается бесконечная дробь, но существуют такие бесконечные дроби, как, например,

которые получаются только из конечной дроби или у, в нашем примере из

Обойти это затруднение легче всего при помощи следующего видоизменения метода Кантора, предложенного Кёнигом из Будапешта. А именно, Кёниг понимает под а, b, с не отдельные цифры, а известные комплексы цифр, я бы сказал, «молекулы» десятичной дроби, соединяя в одно целое всякую значащую цифру, отличную от нуля, со всеми непосредственно ей предшествующими нулями; благодаря этому выделяется роль нулей. Тогда всякая десятичная бесконечная дробь должна иметь бесконечно много молекул, так как в ней появляются все снова и снова отличные от нуля цифры, и наоборот. Например, в дроби

за такие «молекулы» следует принять

Пусть теперь в вышеприведенном правиле сопоставления и z символы обозначают такие молекулы. Тогда всякой паре будет снова однозначно соответствовать бесконечная дробь z, которая в свою очередь определит х и у. Но теперь всякая дробь z однозначно распадается на две дроби и у с бесконечным числом «молекул» каждая, и при этом дробь z может возникнуть только однажды, когда мы в качестве будем брать всевозможные пары бесконечных десятичных дробей. И это действительно дает взаимно однозначное отображение отрезка на квадрат; следовательно, они имеют одинаковую мощность.

Конечно, совершенно аналогичным образом можно показать, что континуумы трех, четырех, измерений имеют такую же мощность, как и одномерный континуум. Но замечательно то, что и континуум бесконечно многих измерений, - точнее говоря, счетного множества измерений - имеет такую же мощность; о таком пространстве бесконечно большого числа измерений теперь особенно много говорят в Гёттингене. Его определяют как совокупность всех тех числовых систем, какие только может принимать счетно бесконечное множество переменных

если каждая из них пробегает весь ряд действительных значений. Это представляет собой, собственно говоря, только новый способ выражения понятий, давно уже применяемых в математике. В самом деле, ведь всегда рассматривали совокупность всех степенных или тригонометрических рядов; счетное бесконечное множество коэффициентов этих рядов представляет собой, в сущности, не что иное, как такую же совокупность бесконечного числа независимых переменных, которые, впрочем, всегда подчинены еще известным условиям сходимости ряда.

Здесь мы снова ограничимся рассмотрением «единичного куба» континуума другими словами, множества всех точек, удовлетворяющих условиям и покажем, что эти точки можно привести во взаимно однозначное соответствие с точками единичного отрезка континуума При этом снова для удобства отбрасываем все те пограничные точки, для которых одна из координат равна нулю, и соответственно точку все же остальные пограничные точки сохраняем. Исходим, как и раньше, из изображения координат точек континуума при помощи десятичных дробей,

теорема: множество действительных чисел, лежащих в интервале (0,1) не, не является счётным.

Доказательство:

Необходимо доказать, что между множеством действительных чисел и множеством натуральных чисел никаким способом нельзя установить взаимно-однозначного соответствия. Будем доказывать теорему методом от противного.

Предположим, что это взаимно-однозначное соответствие каким-либо способом установлено; тогда каждому действительному числу соответствует одно и только одно натуральное число, и, наоборот, каждому натуральному числу соответствует одно и только одно действительное. Так, некоторое действительное число соответствует числу 1- это десятичная дробь 0, α 1 α 2 ...α n . Некоторое действительное число соответствует числу 2 – это дробь запишется в виде 0, β 1 β 2 β 3 ...β n и т.д.

Теперь последовательно запишем действительные числа: сначала запишем число, соответствующее единице, затем число, соответствующее двум, затем число, соответствующее трём и т.д.

0, α 1 α 2 ...α n 0, β 1 β 2 β 3 ...β n 0, γ 1 γ 2 ....γ n

Таким образом, выписаны все действительные числа, так как каждому действительному числу соответствует какое-либо натуральное число: в верхней строке содержатся все действительные числа из промежутка (0,1), а в нижней – все натуральные числа.

Построим теперь число 0, m 1 m 2 ..m n … с помощью следующего закона.В качестве m 1 возьмём натуральное число, лежащее между 0 и 9 и не равное α 1 , т.е. m 1 ≠α 1 , 0

m 1 ≠α 1 , m 2 ≠β 2 , m 3 ≠γ 3 ,…

0

Число 0, m 1 m 2 …m n .. не равно числу 0, α 1 α 2 ...α n .., так как оно по построению отличается от него первым десятичным знаком. Число 0, m 1 m 2 …m n ... отличается от числа 0, β 1 β 2 β 3 ...β n вторым десятичным знаком. Число 0, m 1 m 2 …m n ... отличается от числа 0, γ 1 γ 2 ....γ n третьим десятичным знаком и т.д. Вообще из построения следует, что число 0, m 1 m 2 …m n ... отличается от каждого числа, стоящего в верхней строке, поэтому оно не находится среди чисел, стоящих в верхней строке. С другой стороны, число 0, m 1 m 2 …m n ... – действительное число из промежутка (0,1), а в верхней строке стоят все действительные числа из этого промежутка. Значит, и число 0, m 1 m 2 …m n ... должно находиться в верхней строке.

Мы пришли к противоречию. Следовательно, между множеством действительных чисел на промежутке (0,1) и множеством натуральных чисел нельзя установить взаимно-однозначного соответствия, а это значит, что множество действительных чисел на промежутке (0.1) не является счётным.

Определение: Всякое множество, равномощное множеству действительных чисел, лежащих в интервале (0,1), является множеством мощности континуума.

Каждому числу из интервала (0,1) соответствует одна и только одна точка из этого интервала, и, наоборот, каждой точке из интервала (0,1) соответствует одно и только одно число из этого интервала. Следовательно, множество точек, лежащих в интервале (0,1), имеет мощность континуума.

Мы доказали, что между множествами точек, лежащих в интервале различной длины, можно установить взаимно-однозначное соответствие. Таким образом, множество точек любого интервала имеет мощность континуума.

Мы доказали, что множество точек на всей прямой и множество точек любого интервала равномощны. Таким образом, множество точек на всей прямой имеет мощность континуума, а из этого следует, что множество всех действительных чисел имеет мощность континуума.

Теория множеств позволила качественно различать бесконечные множества, выделив счётные множества и множества мощности континуума.

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными .

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка несчетно.

Доказательство.

Пусть множество точек отрезка счетно. Значит, эти точки можно перенумеровать, т. е. расположить в виде последовательности x 1 , x 2 … x n , … .

Разобьем отрезок на три равные части. Где бы ни находилась точка x 1 , она не может принадлежать всем отрезкам , , . Поэтому среди них есть отрезок D 1 , не содержащий точку x 1 (рис. 1.7). Возьмем этот отрезок D 1 и разделим его на три равные части. Среди них всегда есть отрезок D 2 , не содержащий точку x 2 . Разделим этот отрезок на три равные части и т. д. Получим последовательность отрезков D 1 É D 2 É D 3 É…ÉD n É… . В силу аксиомы Кантора сходится к некоторой точке x при n ® ¥. По построению эта точка x принадлежит каждому отрезку D 1 , D 2 , D 3 ,…, D n , …, т. е. она не может совпадать ни с одной из точек x 1 , x 2 , … x n , …, т. е. последовательность x 1 , x 2 … x n , …не исчерпывает всех точек отрезка , что противоречит первоначальному предположению. Теорема доказана.

Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка называется множеством мощности континуума .

Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума.

Чтобы доказать, что данное множество имеет мощность континуума, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между данным множеством и множеством точек отрезка, интервала или всей прямой.

Пример 1.24 .

Из рис. 1.8 следует, что множество точек параболы y = x 2 эквивалентно множеству точек прямой –¥ < x < ¥ и, следовательно, имеет мощность континуума.

Установить мощность континуума можно также, используя следующие теоремы о множествах мощности континуума (приводятся без доказательств).

Теорема 1. Множество всех подмножеств счетного множества счетно.

Теорема 2. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 3. Множество всех точек n- мерного пространства при любом n имеет мощность континуума.

Теорема 4. Множество всех комплексных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 5. Множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a , b ] имеет мощность континуума.

Итак, мощности бесконечных множеств могут различаться. Мощность континуума больше, чем мощность счетного множества. Ответ на вопрос, существуют ли множества более высокой мощности, чем мощность континуума, дает следующая теорема (приводится без доказательства).

Теорема о множествах высшей мощности. Множество всех подмножеств данного множества имеет более высокую мощность, чем данное множество.

Из этой теоремы следует, что множеств с максимально большой мощностью не существует.

ТЕМА 2. ОТНОШЕНИЯ. ФУНКЦИИ

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными .

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка несчетно.

Доказательство.

Пусть множество точек отрезка счетно. Значит, эти точки можно перенумеровать, т. е. расположить в виде последовательности x 1 , x 2 … x n , … .

Разобьем отрезок на три равные части. Где бы ни находилась точка x 1 , она не может принадлежать всем отрезкам , , . Поэтому среди них есть отрезок D 1 , не содержащий точку x 1 (рис. 1.7). Возьмем этот отрезок D 1 и разделим его на три равные части. Среди них всегда есть отрезок D 2 , не содержащий точку x 2 . Разделим этот отрезок на три равные части и т. д. Получим последовательность отрезков D 1 É D 2 É D 3 É…ÉD n É… . В силу аксиомы Кантора сходится к некоторой точке x при n ® ¥. По построению эта точка x принадлежит каждому отрезку D 1 , D 2 , D 3 ,…, D n , …, т. е. она не может совпадать ни с одной из точек x 1 , x 2 , … x n , …, т. е. последовательность x 1 , x 2 … x n , …не исчерпывает всех точек отрезка , что противоречит первоначальному предположению. Теорема доказана.

Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка называется множеством мощности континуума .

Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума.

Чтобы доказать, что данное множество имеет мощность континуума, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между данным множеством и множеством точек отрезка, интервала или всей прямой.

Пример 1.24 .

Из рис. 1.8 следует, что множество точек параболы y = x 2 эквивалентно множеству точек прямой –¥ < x < ¥ и, следовательно, имеет мощность континуума.

Установить мощность континуума можно также, используя следующие теоремы о множествах мощности континуума (приводятся без доказательств).

Теорема 1. Множество всех подмножеств счетного множества счетно.

Теорема 2. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 3. Множество всех точек n- мерного пространства при любом n имеет мощность континуума.

Теорема 4. Множество всех комплексных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 5. Множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке [a , b ] имеет мощность континуума.

Итак, мощности бесконечных множеств могут различаться. Мощность континуума больше, чем мощность счетного множества. Ответ на вопрос, существуют ли множества более высокой мощности, чем мощность континуума, дает следующая теорема (приводится без доказательства).

Теорема о множествах высшей мощности. Множество всех подмножеств данного множества имеет более высокую мощность, чем данное множество.

Из этой теоремы следует, что множеств с максимально большой мощностью не существует.

Контрольные вопросы к теме 1

1. Пусть a Î А . Следует ли отсюда, что {a } А ?

2. В каком случае А А ÇВ ?

3. Назовите множество, которое является подмножеством любого множества.

4. Может ли быть множество эквивалентно своему подмножеству?

5. Мощность какого множества больше: множества натуральных чисел или множества точек отрезка ?

ТЕМА 2. ОТНОШЕНИЯ. ФУНКЦИИ

Отношения. Основные понятия и определения

Определение 2.1. Упорядоченной парой <x , y > называется совокупность двух элементов x и y , расположенных в определенном порядке.

Две упорядоченные пары <x , y > и <u , v> равны межу собой тогда и только тогда, когда x = u и y = v.

Пример 2.1 .

<a , b >, <1, 2>, <x , 4> – упорядоченные пары.

Аналогично можно рассматривать тройки, четверки, n -ки элементов <x 1 , x 2 , … x n >.

Определение 2.2. Прямым (или декартовым )произведением двух множеств A и B называется множество упорядоченных пар, таких, что первый элемент каждой пары принадлежит множеству A , а второй – множеству B :

A ´ B = {<a , b >, ç a Î А и b Ï В }.

В общем случае прямым произведением n множеств А 1 , А 2 ,… А n называется множество А 1 ´ А 2 ´ …´ А n , состоящее из упорядоченных наборов элементов <a 1 , a 2 , …, a n > длины n , таких, что i- ый a i принадлежит множеству А i , a i Î А i .

Пример 2.2 .

Пусть А = {1, 2}, В = {2, 3}.

Тогда A ´ B = {<1, 2>, <1, 3>,<2, 2>,<2, 3>}.

Пример 2.3 .

Пусть А = {x ç0 £ x £ 1} и B = {y ç2 £ y £ 3}

Тогда A ´ B = {< x , y >, ç0 £ x £ 1и2 £ y £ 3}.

Таким образом, множество A ´ B состоит из точек, лежащих внутри и на границе прямоугольника, образованного прямыми x = 0 (ось ординат), x = 1, y = 2и y = 3.

Французский математик и философ Декарт впервые предложил координатное представление точек плоскости. Это исторически первый пример прямого произведения.

Определение 2.3. Бинарным (или двуместным )отношением r называется множество упорядоченных пар.

Если пара <x , y > принадлежит r , то это записывается следующим образом: <x , y > Î r или, что то же самое, xr y .

Пример2.4 .

r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>}

Аналогично можно определить n -местное отношение как множество упорядоченных n -ок.

Так как бинарное отношение – множество, то способы задания бинарного отношения такие же, как и способы задания множества (см. разд. 1.1). Бинарное отношение может быть задано перечислением упорядоченных пар или указанием общего свойства упорядоченных пар.

Пример 2.5 .

1. r = {<1, 2>, <2, 1>, <2, 3>} – отношение задано перечислением упорядоченных пар;

2. r = {<x , y > çx + y = 7, x , y – действительные числа} – отношение задано указанием свойства x + y = 7.

Кроме того, бинарное отношение может быть задано матрицей бинарного отношения . Пусть А = {a 1 , a 2 , …, a n } – конечное множество. Матрица бинарного отношения C есть квадратная матрица порядка n , элементы которой c ij определяются следующим образом:

c ij =

Пример 2.6 .

А = {1, 2, 3, 4}. Зададим бинарное отношение r тремя перечисленными способами.

1. r = {<1, 2>, <1, 3>, <1, 4>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>} – отношение задано перечислением всех упорядоченных пар.

2. r = {< a i , a j > ça i < a j ; a i , a j Î А } – отношение задано указанием свойства "меньше" на множестве А .

3. – отношение задано матрицей бинарного отношения C .

Пример 2.7 .

Рассмотрим некоторые бинарные отношения.

1. Отношения на множестве натуральных чисел.

а) отношение £ выполняется для пар <1, 2>, <5, 5>, но не выполняется для пары <4, 3>;

б) отношение "иметь общий делитель, отличный от единицы" выполняется для пар <3, 6>, <7, 42>, <21, 15>, но не выполняется для пары <3, 28>.

2. Отношения на множестве точек действительной плоскости.

а) отношение "находиться на одинаковом расстоянии от точки (0, 0)" выполняется для точек (3, 4) и (–2, Ö21), но не выполняется для точек (1, 2) и (5, 3);

б) отношение "быть симметричным относительно оси OY " выполняется для всех точек (x , y ) и (–x , –y ).

3. Отношения на множестве людей.

а) отношение "жить в одном городе";

б) отношение "учиться в одной группе";

в) отношение "быть старше".

Определение 2.4. Областью определения бинарного отношения r называется множество D r = {x çсуществует y, что xr y}.

Определение 2.5. Областью значений бинарного отношения r называется множество R r = {y çсуществует x, что xr y}.

Определение 2.6. Областью задания бинарного отношения r называется множество M r = D r ÈR r .

Используя понятие прямого произведения, можно записать:

r Î D r ´ R r

Если D r = R r = A , то говорят, что бинарное отношение r задано на множестве A .

Пример 2.8 .

Пусть r = {<1, 3>, <3, 3>, <4, 2>}.

Тогда D r = {1, 3, 4}, R r = {3, 2}, M r = {1, 2, 3, 4}.

Операции над отношениями

Так как отношения являются множествами, то все операции над множествами справедливы для отношений.

Пример 2.9 .

r 1 = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 4>}.

r 1 È r 2 = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 4>}.

r 1 Ç r 2 = {<1, 2>}.

r 1 \ r 2 = {<2, 3>, <3, 4>}.

Пример 2.10 .

Пусть R – множество действительных чисел. Рассмотрим на этом множестве следующие отношения:

r 1 – " £ "; r 2 – " = "; r 3 – " < "; r 4 – " ³ "; r 5 – " > ".

r 1 = r 2 È r 3 ;

r 2 = r 1 Ç r 4 ;

r 3 = r 1 \ r 2 ;

r 1 = ;

Определим еще две операции над отношениями.

Определение 2.7. Отношение называется обратным к отношению r (обозначается r – 1), если

r – 1 = {<x , y > ç< y, x > Î r }.

Пример 2.11 .

r = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>}.

r – 1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>}.

Пример 2.12 .

r = {<x , y > ç x – y = 2, x , y Î R }.

r – 1 = {<x , y > ç< y, x > Î r } = r – 1 = {<x , y > çy – x = 2, x , y Î R } = {<x , y > ç– x + y = 2, x , y Î R }.

Определение 2.8. Композицией двух отношений r и s называется отношение

s r = {<x , z > çсуществует такое y , что <x , y > Î r и < y, z > Îs }.

Пример 2.13 .

r = {<x , y > çy = sinx }.

s = {<x , y > çy = Öx }.

s r = {<x , z > çсуществует такое y , что <x , y > Î r и < y, z > Îs } = {<x , z > çсуществует такое y , что y = sinx и z = Öy } = {<x , z > ç z = Ösinx }.

Определение композиции двух отношенийсоответствует определению сложной функции:

y = f (x ), z = g (y ) Þ z = g (f (x )).

Пример 2.14 .

r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.

s = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.

Процесс нахождения s r в соответствии с определением композиции удобно изобразить таблицей, в которой реализуется перебор всех возможных значений x , y , z . для каждой пары <x , y > Î r нужно рассмотреть все возможные пары < y, z > Îs (табл. 2.1).

Таблица 2.1

<x , y > Î r	< y, z > Îs	<x , z > Îs r
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1>	<1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3>	<1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3>

Заметим, что первая, третья и четвертая, а также вторая и пятая строки последнего столбца таблицы содержат одинаковые пары. Поэтому получим:

s r = {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.

Свойства отношений

Определение 2.9. Отношение r называется рефлексивным на множестве X , если для любого x Î X выполняется xr x .

Из определения следует, что всякий элемент < x , x > Î r .

Пример 2.15 .

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 2>, <3, 1>, <3, 3>}. Отношение r рефлексивно. Если X – конечное множество, то главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит только единицы. Для нашего примера

б) Пусть X r отношение равенства. Это отношение рефлексивно, т.к. каждое число равно самому себе.

в) Пусть X – множество людей и r отношение "жить в одном городе". Это отношение рефлексивно, т.к. каждый живет в одном городе сам с собой.

Определение 2.10. Отношение r называется симметричным на множестве X , если для любых x , y Î X из xry следует yr x .

Очевидно, что r симметрично тогда и только тогда, когда r = r – 1 .

Пример 2.16 .

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <3, 1>, <3, 3>}. Отношение r симметрично. Если X – конечное множество, то матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали. Для нашего примера

б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение равенства. Это отношение симметрично, т.к. если x равно y , то и y равно x .

в) Пусть X – множество студентов и r отношение "учиться в одной группе". Это отношение симметрично, т.к. если x учится в одной группе с y , то и y учится в одной группе с x .

Определение 2.11. Отношение r называется транзитивным на множестве X , если для любых x , y , z Î X из xry и yr z следует xr z .

Одновременное выполнение условий xry , yr z , xr z означает, что пара <x , z > принадлежит композиции r r . Поэтому для транзитивности r необходимо и достаточно, чтобы множество r r являлось подмножеством r , т. е. r r Í r .

Пример 2.17 .

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <2, 3>, <1, 3>}. Отношение r транзитивно, т. к. наряду с парами <x , y >и <y , z >имеется пара<x , z >. Например, наряду с парами <1, 2>, и <2, 3> имеется пара <1, 3>.

б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение £ (меньше или равно). Это отношение транзитивно, т.к. если x £ y и y £ z , то x £ z .

в) Пусть X – множество людей и r отношение "быть старше". Это отношение транзитивно, т.к. если x старше y и y старше z , то x старше z .

Определение 2.12. Отношение r называется отношением эквивалентности на множестве X , если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно на множестве X .

Пример 2.18 .

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <2, 2>, <3, 3>}. Отношение r является отношением эквивалентности.

б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение равенства. Это отношение эквивалентности.

в) Пусть X – множество студентов и r отношение "учиться в одной группе". Это отношение эквивалентности.

Пусть r X .

Определение 2.13. Пусть r – отношение эквивалентности на множестве X и x Î X . Классом эквивалентности , порожденным элементом x , называется подмножество множества X , состоящее из тех элементов y Î X , для которых xry . Класс эквивалентности, порожденный элементом x , обозначается через [x ].

Таким образом, [x ] = {y Î X | xry }.

Классы эквивалентности образуют разбиение множества X , т. е. систему непустых попарно непересекающихся его подмножеств, объединение которых совпадает со всем множеством X .

Пример 2.19 .

а) Отношение равенства на множестве целых чисел порождает следующие классы эквивалентности: для любого элемента x из этого множества [x ] = {x }, т.е. каждый класс эквивалентности состоит из одного элемента.

б) Класс эквивалентности, порожденный парой <x , y > определяется соотношением:

[<x , y >] = .

Каждый класс эквивалентности, порожденный парой <x , y >, определяет одно рациональное число.

в) Для отношения принадлежности к одной студенческой группе классом эквивалентности является множество студентов одной группы.

Определение 2.14. Отношение r называется антисимметричным на множестве X , если для любых x , y Î X из xry и yr x следует x = y .

Из определения антисимметричности следует, что всякий раз, когда пара <x , y > принадлежит одновременно r и r – 1 , должно выполняться равенство x = y . Другими словами, r Ç r – 1 состоит только из пар вида < x , x >.

Пример 2.20 .

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>}. Отношение r антисимметрично.

Отношение s = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 1>, <2, 3>, <3, 3>} неантисимметрично. Например, <1, 2> Îs, и <2, 1> Îs , но 1 ¹2.

б) Пусть X – множество действительных чисел и r отношение £ (меньше или равно). Это отношение антисимметрично, т.к. если x £ y , и y £ x , то x = y .

Определение 2.15. Отношение r называется отношением частичного порядка (или просто частичным порядком) на множестве X , если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно на множестве X . Множество X в этом случае называют частично упорядоченным и указанное отношение часто обозначают символом £, если это не приводит к недоразумениям.

Отношение, обратное отношению частичного порядка будет, очевидно, отношением частичного порядка.

Пример 2.21 .

а) Пусть X – конечное множество, X = {1, 2, 3} и r = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 3>}. Отношение r

б) Отношение А Í В на множестве подмножеств некоторого множества U есть отношение частичного порядка.

в) Отношение делимости на множестве натуральных чиселесть отношение частичного порядка.

Функции. Основные понятия и определения

В математическом анализе принято следующее определение функции.

Переменная y называется функцией от переменной x , если по некоторому правилу или закону каждому значению x соответствует одно определенное значение y = f (x ). Область изменения переменной x называется областью определения функции, а область изменения переменной y – областью значений функции. Если одному значению x соответствует несколько (и даже бесконечно много значений y ), то функция называется многозначной. Впрочем, в курсе анализа функций действительных переменных избегают многозначных функций и рассматривают однозначные функции.

Рассмотрим другое определение функции с точки зрения отношений.

Определение 2.16. Функцией называется любое бинарное отношение, которое не содержит двух пар с равными первыми компонентами и различными вторыми.

Такое свойство отношения называется однозначностью или функциональностью .

Пример 2.22 .

а) {<1, 2>, <3, 4>, <4, 4>, <5, 6>} – функция.

б) {<x , y >: x , y Î R , y = x 2 } – функция.

в) {<1, 2>, <1, 4>, <4, 4>, <5, 6>} – отношение, но не функция.

Определение 2.17. Если f – функция, то D f – область определения , а R f – область значений функции f .

Пример 2.23 .

Для примера 2.22 а) D f – {1, 3, 4, 5}; R f – {2, 4, 6}.

Для примера 2.22 б) D f = R f = (–¥, ¥).

Каждому элементу x D f функция ставит в соответствие единственный элемент y R f . Это обозначается хорошо известной записью y = f (x ). Элемент x называется аргументом функции или прообразом элемента y при функции f , а элемент y значением функции f на x или образом элемента x при f .

Итак, из всех отношений функции выделяются тем, что каждый элемент из области определения имеет единственный образ.

Определение 2.18. Если D f = X и R f = Y , то говорят, что функция f определена на X и принимает свои значения на Y , а f называют отображением множества X на Y (X ® Y ).

Определение 2.19. Функции f и g равны, если их область определения – одно и то же множество D , и для любого x Î D справедливо равенство f (x ) = g (x ).

Это определение не противоречит определению равенства функций как равенства множеств (ведь мы определили функцию как отношение, т. е. множество): множества f и g равны, тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов.

Определение 2.20. Функция (отображение) f называется сюръективной или просто сюръекцией , если ля любого элемента y Y существует элемент x Î X , такой, что y = f (x ).

Таким образом, каждая функция f является сюръективным отображением (сюръекцией) D f ® R f .

Если f – сюръекция, а X и Y – конечные множества, то ³ .

Определение 2.21. Функция (отображение) f называется инъективной или просто инъекцией или взаимно однозначной , если из f (a ) = f (b ) следует a = b .

Определение 2.22. Функция (отображение) f называется биективной или просто биекцией , если она одновременно инъективна и сюръективна.

Если f – биекция, а X и Y – конечные множества, то = .

Определение 2.23. Если область значений функции D f состоит из одного элемента, то f называется функцией-константой .

Пример 2.24 .

а) f (x ) = x 2 есть отображение множества действительных чисел на множество неотрицательных действительных чисел. Т.к. f (–a ) = f (a ), и a ¹ –a , то эта функция не является инъекцией.

б) Для каждого x R = (– , ) функция f (x ) = 5 – функция-константа. Она отображает множество R на множество {5}. Эта функция сюръективна, но не инъективна.

в) f (x ) = 2x + 1 является инъекцией и биекцией, т.к. из 2x 1 +1 = 2x 2 +1 следует x 1 = x 2 .

Определение 2.24. Функция, реализующая отображение X 1 ´ X 2 ´...´ X n ®Y называется n-местной функцией.

Пример 2.25 .

а) Сложение, вычитание, умножение и деление являются двуместными функциями на множестве R действительных чисел, т. е. функциями типа R 2 ® R .

б) f (x , y ) = – двуместная функция, реализующая отображение R ´ (R \ )® R . Эта функция не является инъекцией, т.к. f (1, 2) = f (2, 4).

в) Таблица выигрышей лотереи задает двуместную функцию, устанавливающую соответствие между парами из N 2 (N – множество натуральных чисел) и множеством выигрышей.

Поскольку функции являются бинарными отношениями, то можно находить обратные функции и применять операцию композиции. Композиция любых двух функций есть функция, но не для каждой функции f отношение f –1 является функцией.

Пример 2.26 .

а) f = {<1, 2>, <2, 3>, <3, 4>, <4, 2>} – функция.

Отношение f –1 = {<2, 1>, <3, 2>, <4, 3>, <2, 4>} не является функцией.

б) g = {<1, a >, <2, b >, <3, c >, <4, D >} – функция.

g -1 = {<a , 1>, <b , 2>, <c , 3>, <D , 4>} тоже функция.

в) Найдем композицию функций f из примера а) и g -1 из примера б). Имеем g -1f = {<a , 2>, <b , 3>, <c , 4>, <d , 2>}.

fg -1 = Æ.

Заметим, что (g -1f )(a ) = f (g -1 (a )) = f (1) = 2; (g -1f )(c ) = f (g -1 (c )) = f (3) = 4.

Элементарной функцией в математическом анализе называется всякая функция f , являющаяся композицией конечного числа арифметических функций, а также следующих функций:

1) Дробно-рациональные функции, т.е. функции вида

a 0 + a 1 x + ... + a n x n

b 0 + b 1 x + ... + b m x m .

2) Степенная функция f (x ) = x m , где m – любое постоянное действительное число.

3) Показательная функция f (x ) = e x .

4) логарифмическая функция f (x ) = log a x , a >0, a 1.

5) Тригонометрические функции sin, cos, tg, ctg, sec, csc .

6) Гиперболические функции sh, ch, th, cth .

7) Обратные тригонометрические функции arcsin , arccos и т.д.

Например, функция log 2 (x 3 +sincos 3x ) является элементарной, т.к. она есть композиция функций cosx , sinx , x 3 , x 1 + x 2 , logx , x 2 .

Выражение, описывающее композицию функций, называется формулой.

Для многоместной функции справедлив следующий важный результат, полученный А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом в 1957 г. и являющийся решением 13-ой проблемы Гильберта:

Теорема. Всякая непрерывная функция n переменных представима в виде композиции непрерывных функций двух переменных.

Способы задания функций

1. Наиболее простой способ задания функций – это таблицы (табл. 2.2):

Таблица 2.2

Однако, таким образом могут быть заданы функции, определенные на конечных множествах.

Если функция, определенная на бесконечном множестве (отрезке, интервале), задана в конечном числе точек, например, в виде тригонометрических таблиц, таблиц специальных функций и т.п., то для вычисления значений функций в промежуточных точках пользуются правилами интерполяции.

2. Функция может быть задана в виде формулы, описывающей функцию как композицию других функций. Формула задает последовательность вычисления функции.

Пример 2.28 .

f (x ) = sin (x + Öx ) является композицией следующих функций:

g (y ) = Öy ; h (u, v) = u + v; w (z ) = sinz.

3. Функция может быть задана в виде рекурсивной процедуры. Рекурсивная процедура задает функцию, определенную на множестве натуральных чисел, т. е. f (n ), n = 1, 2,... следующим образом: а) задается значение f (1) (или f (0)); б) значение f (n + 1) определяется через композицию f (n ) и других известных функций. Простейшим примером рекурсивной процедуры является вычисление n !: а) 0! = 1; б) (n + 1)! = n !(n + 1). Многие процедуры численных методов являются рекурсивными процедурами.

4. Возможны способы задания функции, не содержащие способа вычисления функции, а только описывающие ее. Например:

f M (x ) =

Функция f M (x ) – характеристическая функция множества M .

Итак, по смыслу нашего определения, задать функцию f – значит задать отображение X ® Y , т.е. определить множество X ´Y , поэтому вопрос сводится к заданию некоторого множества. Однако можно определить понятие функции, не используя языка теории множеств, а именно: функция считается заданной, если задана вычислительная процедура, которая по заданному значению аргумента находит соответствующее значение функции. Функция, определенная таким образом, называется вычислимой.

Пример 2.29 .

Процедура определения чисел Фибоначчи , задается соотношением

F n = F n- 1 + F n- 2 (n ³ 2) (2.1)

с начальными значениями F 0 = 1, F 1 = 1.

Формула (2.1) вместе с начальными значениями определяет следующий ряд чисел Фибоначчи:

n	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
F n	1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 …

Вычислительная процедура определения значения функции по заданному значению аргумента есть не что иное, как алгоритм .

Контрольные вопросы к теме 2

1. Укажите способы задания бинарного отношения.

2. Главная диагональ матрицы какого отношения содержит только единицы?

3. Для какого отношения r всегда выполняется условие r = r – 1 ?

4. Для какого отношения r всегда выполняется условие r r Í r .

5. Ввести отношения эквивалентности и частичного порядка на множестве всех прямых на плоскости.

6. Укажите способы задания функций.

7. Какое из следующих утверждений справедливо?

а) Всякое бинарное отношение есть функция.

б) Всякая функция есть бинарное отношение.

Тема 3. ГРАФЫ

Первая работа по теории графов принадлежащая Эйлеру, появилась в 1736 году. Вначале эта теория была связана с математическими головоломками и играми. Однако впоследствии теория графов стала использоваться в топологии, алгебре, теории чисел. В наше время теория графов находит применение в самых разнообразных областях науки, техники и практической деятельности. Она используется при проектировании электрических сетей, планировании транспортных перевозок, построении молекулярных схем. Применяется теория графов также в экономике, психологии, социологии, биологии.

Важным вопросом при изучении множеств; является вопрос о том, как сравнивать между собой два множества, имея в виду «количество» элементов, в них содержащихся. Если мы имеем два множества, каждое из которых содержит конечное число элементов, то элементы в этих множествах мы можем просто каким-нибудь способом занумеровать. При этом может оказаться, что в первом и втором множествах содержится одина ковое число элементов. Назовем такие два множества, содержащие конечное и одинаковое число элементов, эквивалентным и. Если в одном из рассматриваемых множеств элементов окажется больше, то мы будем говорить, что оно имеет большую» мощность, чем другое из рассматриваемых множеств.

Обратимся теперь к множествам, состоящим из, вообще говоря, бесконечного числа элементов. Примерами таких множеств являются множество рациональных чисел или множество вещественных чисел, лежащих на сегменте .

Назовем два множества А и В эквивалентными, если между ними существует взаимно однозначное соответствие, т. е. каждому элементу отвечает единствённый элемент каждый, элемент сопоставлен некоторому элементу и разным элементам множества А отвечают разные элементы множества В.

Взаимно однозначное соответствие называют иногда биективным соответствием.

В частности, множества, содержащие конечное число элементов, эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов. Эквивалентность множеств А и В обозначается так:

Покажем, например, что множество рациональных чисел и множество натуральных чисел эквивалентны. Заметим сначала, что для любого целого два рациональных числа являются одинаковыми (здесь ). Поэтому всякое рациональное число можно записать в виде и дробь считать несократимой. Число 0 будем считать записанным одним способом:

Назовем число высотой рационального числа Ясно, что рациональных чисел имеющих данную высоту, конечное число. Будем нумеровать натуральными числами рациональные числа по возрастанию высоты, т. е. сперва занумеруем все рациональные числа высоты Такое число только одно: 0. Этому рациональному числу припишем индекс 1, т. е., поставим ему в соответствие натуральное число 1. Затем занумеруем рациональные числа высоты Таких чисел два:

и Первому из них поставим в соответствие натуральное число 2 (т. е. занумеруем его индексом 2), второму - число 3. После этого занумеруем рациональные числа высоты 3 и т. д. Ясно, что при этом мы установим взаимно однозначное соответствие между всеми рациональными числами и всеми натуральными числами, т. е.

Введем понятие счетного множества.

Определение 1. Множество называется счетным, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Согласно этому определению и рассуждениям, проведенным выше, мы получаем, что множество рациональных чисел является счетным множеством.

Докажем следующие два простых утверждения о счетных множествах.

Утверждение 1. Всякое непустое подмножество счетного множества является или множеством, состоящим из конечного числа элементов, или множеством счетным.

Доказательство. Пусть А - исходное счетное множество, т. е. - множеству натуральных чисел. Это означает, что элементы множества А можно занумеровать каким-нибудь способом. Расположим элементы множества А в виде последовательности: Пусть В - непустое подмножество множества А. Рассмотрим последовательно элементы множества А. Если то этот элемент мы обозначим через если мы переходим к рассмотрению элемента При рассмотрении элемента могут представиться две возможности: а) элемент если при этом было выполнено, что и то элемент мы обозначим через если же то элемент обозначается через элемент тогда переходим к рассмотрению элемента Ясно, что при этом может случиться, что все элементы множества В будут расположены в виде конечной последовательности: . В этом случае множество В состоит из конечного числа элементов. Если этого не случится, то мы выпишем все элементы множества В в виде бесконечной последовательности элементов откуда следует, что множество В счетное. Утверждение доказано.

Утверждение 2. Сумма любой конечной или счетной совокупности счетных множеств есть множество счетное.

Доказательство. Рассмотрим, например, случай, когда имеется счетная совокупность счетных множеств. Пусть - совокупность множеств, каждое из которых счетно. Расположим элементы множеств в виде последовательностей:

Пусть Произведем нумерацию элементов а множества следующим образом:

У некоторых множеств могут оказаться общие элементы (при ). В этом случае мы их учитываем только один раз.

Таким образом, элементы множества А можно занумеровать т. е. поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел т. е. А счетно. Утверждение доказано.

Возникает вопрос: существуют ли бесконечные несчетные множества, т. е. такие бесконечные множества, которые нельзя поставить во взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел? Ответ содержится в доказываемой ниже теореме.

Теорема 2.2. Множество всех точек сегмента несчетно.

Доказательство. Рассмотрим интервал (0, 1). Очевидно, что если мы докажем, что интервал (0,1) несчетен, то и сегмент будет несчетен, так как множество точек сегмента отличается от множества точек интервала (0,1) всего двумя точками: 0 и 1. Итак, докажем, что множество точек интервала (0, 1) несчетно. Допустим противное, т. е. предположим, что все вещественные числа интервала (0, 1) можно занумеровать.

Записывая все числа интервала в виде бесконечных: десятичных дробей, получим, что

Рассмотрим на интервале (0,1) вещественное число где - любая цифра, отличная от - любая цифра, отличная от - любая цифра, отличная от и 9. Достаточно доказать, что число х не совпадает ни с одним из чисел Число не содержит после запятой нулей и девяток, т. е. это число не принадлежит классу

рациональных чисел, представимых двумя способами в виде бесконечных десятичных дробей. В таком случае число х допускает единственное представление в виде бесконечной десятичной дроби и оно отлично от всех чисел ибо совпадение числа х с каким-либо числом означало бы совпадение и Таким образом, интервал (0, 1), а вместе с тем и сегмент несчетен. Теорема доказана.

Определение 2. Множество, эквивалентное множеству точек сегмента , называется множеством мощности континуум а.

Из доказанной теоремы 2.2 следует, что множества мощности континуума и счетные множества не являются эквивалентными между собой множествами. В частности, из теоремы 2.2 следует, что существуют иррациональные числа, так как уже на сегменте не все числа рациональны: в противном случае их можно было бы перенумеровать. Из теоремы 2.2 также следует, что иррациональных чисел несчетное множество, так как если бы их было счетное множество или конечное число, то по утверждению 2 и всех чисел - рациональных и иррациональных - было бы счетное множество.

Рассмотрим два произвольных множества А и В. Если эти множества являются эквивалентными, то мы будем говорить, что они имеют одинаковую мощность или являются равномощными.

Для обозначения равномощности множеств А и В используют следующую символику:

Если множество А эквивалентно некоторому подмножеству множества В и при этом множество А не содержит подмножества, эквивалентного множеству В, то будем говорить, что мощность множества А меньше мощности множества В.

Для обозначения того, что мощность множества А меньше мощности В, используют следующую символику:

Например, из данного выше определения множества мощности континуума, из теоремы 2.2 и из утверждения 1 о счетных множествах следует, что мощность счетного множества меньше мощности множества сегмента , т. е. мощности континуума.

Итак, нами введено сравнение мощностей двух множеств. Логически возможны еще два случая:

а) Множество А содержит подмножество, эквивалентное множеству В, а множество В содержит подмножество, эквивалентное А

б) Множества A и В не эквивалентны, и ни одно из них не содержит подмножества, эквивалентного другому множеству. Нетрудно доказать, что в случае а) множества А и В будут эквивалентны. Случай же б) на самом деле невозможен.

Заметим еще, что трудной проблемой оказался вопрос о существовании множества промежуточной мощности между мощностью счетных множеств и мощностью континуума. Оказалось, что утверждение как о существовании, так и об отсутствии множества промежуточной мощности не противоречит аксиомам теории множеств и не может быть выведено из них. Тем самым это утверждение является одной из аксиом аксиоматической теории множеств.

В заключение докажем, что сегмент и интервал (0, 1) - эквивалентные или, что то же, равномощные множества. Для этого установим взаимно однозначное соответствие между их элементами. Выберем на сегменте и интервале (0, 1) последовательность точек

Точке 0 сегмента поставим в соответствие точку интервала (0, 1), точке 1 сегмента поставим в соответствие точку - интервала (0, 1), далее точке сегмента поставим в соответствие точку интервала точке - сегмента поставим в соответствие точку интервала Всем остальным точкам сегмента (т. е. точкам, отличным от 0,1 и не принадлежащим выбранной последовательности) ставятся в соответствие те же точки тервала, т. е. точки, имеющие те же абсциссы. Таким образом, взаимно однозначное соответствие между сегментом и интервалом (0, 1) установлено.