Условие четности функции. Четные и нечетные функции
Зависимость переменной y от переменно x, при которой каждому значению х соответствует единственное значение y называется функцией. Для обозначения используют запись y=f(x). У каждой функции существует ряд основных свойств, таких как монотонность, четность, периодичность и другие.
Рассмотри подробнее свойство четности.
Функция y=f(x) называется четной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
2. Значение функции в точке х, принадлежащей области определения функции должно равняться значению функции в точке -х. То есть для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = f(-x).
График четной функции
Если построить график четной функции он будет симметричен относительно оси Оу.
Например, функция y=x^2 является четной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.
Возьмем произвольное х=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Следовательно, f(x) = f(-x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция четная. Ниже представлен график функции y=x^2.
На рисунке видно, что график симметричен относительно оси Оу.
График нечетной функции
Функция y=f(x) называется нечетной, если она удовлетворяет следующим двум условиям:
1. Область определения данной функции должна быть симметрична относительно точки О. То есть если некоторая точка a принадлежит области определения функции, то соответствующая точка -a тоже должна принадлежать области определения заданной функции.
2. Для любой точки х, из области определения функции должно выполняться следующее равенство f(x) = -f(x).
График нечетной функции симметричен относительно точки О - начала координат. Например, функция y=x^3 является нечетной. Проверим это. Область определения вся числовая ось, а значит, она симметрична относительно точки О.
Возьмем произвольное х=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Следовательно, f(x) = -f(x). Таким образом, у нас выполняются оба условия, значит функция нечетная. Ниже представлен график функции y=x^3.
На рисунке наглядно представлено, что нечетная функция y=x^3 симметрична относительно начала координат.
четной
, если при всех \(x\)
из ее области определения верно: \(f(-x)=f(x)\)
.
График четной функции симметричен относительно оси \(y\) :
Пример: функция \(f(x)=x^2+\cos x\) является четной, т.к. \(f(-x)=(-x)^2+\cos{(-x)}=x^2+\cos x=f(x)\) .
\(\blacktriangleright\)
Функция \(f(x)\)
называется нечетной
, если при всех \(x\)
из ее области определения верно: \(f(-x)=-f(x)\)
.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат:
Пример: функция \(f(x)=x^3+x\) является нечетной, т.к. \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\) .
\(\blacktriangleright\)
Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида. Такую функцию можно всегда единственным образом представить в виде суммы четной и нечетной функции.
Например, функция \(f(x)=x^2-x\) является суммой четной функции \(f_1=x^2\) и нечетной \(f_2=-x\) .
\(\blacktriangleright\) Некоторые свойства:
1) Произведение и частное двух функций одинаковой четности - четная функция.
2) Произведение и частное двух функций разной четности - нечетная функция.
3) Сумма и разность четных функций - четная функция.
4) Сумма и разность нечетных функций - нечетная функция.
5) Если \(f(x)\)
- четная функция, то уравнение \(f(x)=c \ (c\in
\mathbb{R}\)
) имеет единственный корень тогда и только когда, когда \(x=0\)
.
6) Если \(f(x)\) - четная или нечетная функция, и уравнение \(f(x)=0\) имеет корень \(x=b\) , то это уравнение обязательно будет иметь второй корень \(x=-b\) .
\(\blacktriangleright\)
Функция \(f(x)\)
называется периодической на \(X\)
, если для некоторого числа \(T\ne 0\)
выполнено \(f(x)=f(x+T)\)
, где \(x,
x+T\in X\)
. Наименьшее \(T\)
, для которого выполнено данное равенство, называется главным (основным) периодом функции.
У периодической функции любое число вида \(nT\) , где \(n\in \mathbb{Z}\) также будет являться периодом.
Пример: любая тригонометрическая функция является периодической;
у функций \(f(x)=\sin x\)
и \(f(x)=\cos x\)
главный период равен \(2\pi\)
, у функций \(f(x)=\mathrm{tg}\,x\)
и \(f(x)=\mathrm{ctg}\,x\)
главный период равен \(\pi\)
.
Для того, чтобы построить график периодической функции, можно построить ее график на любом отрезке длиной \(T\) (главный период); тогда график всей функции достраивается сдвигом построенной части на целое число периодов вправо и влево:
\(\blacktriangleright\)
Область определения \(D(f)\)
функции \(f(x)\)
- это множество, состоящее из всех значений аргумента \(x\)
, при которых функция имеет смысл (определена).
Пример: у функции \(f(x)=\sqrt x+1\) область определения: \(x\in
Задание 1 #6364
Уровень задания: Равен ЕГЭ
При каких значениях параметра \(a\) уравнение
имеет единственное решение?
Заметим, что так как \(x^2\)
и \(\cos x\)
- четные функции, то если уравнение будет иметь корень \(x_0\)
, оно также будет иметь и корень \(-x_0\)
.
Действительно, пусть \(x_0\)
– корень, то есть равенство \(2x_0^2+a\mathrm{tg}\,(\cos x_0)+a^2=0\)
верно. Подставим \(-x_0\)
: \(2
(-x_0)^2+a\mathrm{tg}\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm{tg}\,(\cos
x_0)+a^2=0\)
.
Таким образом, если \(x_0\ne 0\) , то уравнение уже будет иметь как минимум два корня. Следовательно, \(x_0=0\) . Тогда:
Мы получили два значения параметра \(a\) . Заметим, что мы использовали то, что \(x=0\) точно является корнем исходного уравнения. Но мы нигде не использовали то, что он единственный. Следовательно, нужно подставить получившиеся значения параметра \(a\) в исходное уравнение и проверить, при каких именно \(a\) корень \(x=0\) действительно будет единственным.
1) Если \(a=0\) , то уравнение примет вид \(2x^2=0\) . Очевидно, что это уравнение имеет лишь один корень \(x=0\) . Следовательно, значение \(a=0\) нам подходит.
2) Если \(a=-\mathrm{tg}\,1\) , то уравнение примет вид \ Перепишем уравнение в виде \ Так как \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\) , то \(-\mathrm{tg}\,1\leqslant \mathrm{tg}\,(\cos x)\leqslant \mathrm{tg}\,1\) . Следовательно, значения правой части уравнения (*) принадлежат отрезку \([-\mathrm{tg}^2\,1; \mathrm{tg}^2\,1]\) .
Так как \(x^2\geqslant 0\) , то левая часть уравнения (*) больше или равна \(0+ \mathrm{tg}^2\,1\) .
Таким образом, равенство (*) может выполняться только тогда, когда обе части уравнения равны \(\mathrm{tg}^2\,1\) . А это значит, что \[\begin{cases} 2x^2+\mathrm{tg}^2\,1=\mathrm{tg}^2\,1 \\ \mathrm{tg}\,1\cdot \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}^2\,1 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x=0\\ \mathrm{tg}\,(\cos x)=\mathrm{tg}\,1 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Следовательно, значение \(a=-\mathrm{tg}\,1\) нам подходит.
Ответ:
\(a\in \{-\mathrm{tg}\,1;0\}\)
Задание 2 #3923
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых график функции \
симметричен относительно начала координат.
Если график функции симметричен относительно начала координат, то такая функция является нечетной, то есть выполнено \(f(-x)=-f(x)\) для любого \(x\) из области определения функции. Таким образом, требуется найти те значения параметра, при которых выполнено \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin{aligned} &3\mathrm{tg}\,\left(-\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm{tg}\,\dfrac{ax}5+2\sin \dfrac{8\pi a+3x}4= -\left(3\mathrm{tg}\,\left(\dfrac{ax}5\right)+2\sin \dfrac{8\pi a-3x}4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac{8\pi a+3x}4+\sin \dfrac{8\pi a-3x}4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac{8\pi a+3x}4+\dfrac{8\pi a-3x}4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac{8\pi a+3x}4-\dfrac{8\pi a-3x}4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \frac34 x=0 \end{aligned}\]
Последнее уравнение должно быть выполнено для всех \(x\) из области определения \(f(x)\) , следовательно, \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\) .
Ответ:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb{Z}\)
Задание 3 #3069
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \ имеет 4 решения, где \(f\) – четная периодическая с периодом \(T=\dfrac{16}3\) функция, определенная на всей числовой прямой, причем \(f(x)=ax^2\) при \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(Задача от подписчиков)
Так как \(f(x)\) – четная функция, то ее график симметричен относительно оси ординат, следовательно, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\) \(f(x)=ax^2\) . Таким образом, при \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\) , а это отрезок длиной \(\dfrac{16}3\) , функция \(f(x)=ax^2\) .
1) Пусть \(a>0\)
. Тогда график функции \(f(x)\)
будет выглядеть следующим образом:
Тогда для того, чтобы уравнение имело 4 решения, нужно, чтобы график \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\)
проходил через точку \(A\)
:
Следовательно, \[\dfrac{64}9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &9(a+2)=32a\\
&9(a+2)=-32a \end{aligned} \end{gathered}\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a=\dfrac{18}{23}\\
&a=-\dfrac{18}{41} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]
Так как \(a>0\)
, то подходит \(a=\dfrac{18}{23}\)
.
2) Пусть \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
Нужно, чтобы график \(g(x)\)
прошел через точку \(B\)
: \[\dfrac{64}9a=|a+2|\cdot \sqrt{-8} \quad\Leftrightarrow\quad
\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &a=\dfrac{18}{23}\\
&a=-\dfrac{18}{41} \end{aligned} \end{gathered}\right.\]
Так как \(a<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) Случай, когда \(a=0\) , не подходит, так как тогда \(f(x)=0\) при всех \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) и уравнение будет иметь только 1 корень.
Ответ:
\(a\in \left\{-\dfrac{18}{41};\dfrac{18}{23}\right\}\)
Задание 4 #3072
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения \(a\) , при каждом из которых уравнение \
имеет хотя бы один корень.
(Задача от подписчиков)
Перепишем уравнение в виде \
и рассмотрим две функции: \(g(x)=7\sqrt{2x^2+49}\)
и \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\)
.
Функция \(g(x)\)
является четной, имеет точку минимума \(x=0\)
(причем \(g(0)=49\)
).
Функция \(f(x)\)
при \(x>0\)
является убывающей, а при \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
Действительно, при \(x>0\)
второй модуль раскроется положительно (\(|x|=x\)
), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется первый модуль, \(f(x)\)
будет равно \(kx+A\)
, где \(A\)
– выражение от \(a\)
, а \(k\)
равно либо \(-9\)
, либо \(-3\)
. При \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
Найдем значение \(f\)
в точке максимума: \
Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций \(f\) и \(g\) имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно: \ \\]
Ответ:
\(a\in \{-7\}\cup\)
Задание 5 #3912
Уровень задания: Равен ЕГЭ
Найдите все значения параметра \(a\) , при каждом из которых уравнение \
имеет шесть различных решений.
Сделаем замену \((\sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t\)
, \(t>0\)
. Тогда уравнение примет вид \
Будем постепенно выписывать условия, при которых исходное уравнение будет иметь шесть решений.
Заметим, что квадратное уравнение \((*)\)
может максимум иметь два решения. Любое кубическое уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\)
может иметь не более трех решений. Следовательно, если уравнение \((*)\)
имеет два различных решения (положительных!, так как \(t\)
должно быть больше нуля) \(t_1\)
и \(t_2\)
, то, сделав обратную замену, мы получим: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned}
&(\sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t_1\\
&(\sqrt2)^{x^3-3x^2+4}=t_2\end{aligned}\end{gathered}\right.\]
Так как любое положительное число можно представить как \(\sqrt2\)
в какой-то степени, например, \(t_1=(\sqrt2)^{\log_{\sqrt2} t_1}\)
, то первое уравнение совокупности перепишется в виде \
Как мы уже говорили, любое кубическое уравнение имеет не более трех решений, следовательно, каждое уравнение из совокупности будет иметь не более трех решений. А значит и вся совокупность будет иметь не более шести решений.
Значит, чтобы исходное уравнение имело шесть решений, квадратное уравнение \((*)\)
должно иметь два различных решения, а каждое полученное кубическое уравнение (из совокупности) должно иметь три различных решения (причем ни одно решение одного уравнения не должно совпадать с каким-либо решением второго!)
Очевидно, что если квадратное уравнение \((*)\)
будет иметь одно решение, то мы никак не получим шесть решений у исходного уравнения.
Таким образом, план решения становится ясен. Давайте по пунктам выпишем условия, которые должны выполняться.
1) Чтобы уравнение \((*)\) имело два различных решения, его дискриминант должен быть положительным: \
2) Также нужно, чтобы оба корня были положительными (так как \(t>0\) ). Если произведение двух корней положительное и сумма их положительная, то и сами корни будут положительными. Следовательно, нужно: \[\begin{cases} 12-a>0\\-(a-10)>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
Таким образом, мы уже обеспечили себе два различных положительных корня \(t_1\) и \(t_2\) .
3)
Давайте посмотрим на такое уравнение \
При каких \(t\)
оно будет иметь три различных решения? Таким образом, мы определили, что оба корня уравнения \((*)\)
должны лежать в интервале \((1;4)\)
. Как записать это условие? имело четыре различных корня, отличных от нуля, представляющих вместе с \(x=0\)
арифметическую прогрессию. Заметим, что функция \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\)
является четной, значит, если \(x_0\)
является корнем уравнения \((*)\)
, то и \(-x_0\)
будет являться его корнем. Тогда необходимо, чтобы корнями этого уравнения были упорядоченные по возрастанию числа: \(-2d, -d, d, 2d\)
(тогда \(d>0\)
). Именно тогда данные пять чисел будут образовывать арифметическую прогрессию (с разностью \(d\)
). Чтобы этими корнями являлись числа \(-2d, -d, d, 2d\)
, нужно, чтобы числа \(d^{\,2}, 4d^{\,2}\)
являлись корнями уравнения \(25t^2+25(a-1)t-4(a-7)=0\)
. Тогда по теореме Виета: Перепишем уравнение в виде \
и рассмотрим две функции: \(g(x)=20a-a^2-2^{x^2+2}\)
и \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\)
. Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, нужно, чтобы графики функций \(f\)
и \(g\)
имели хотя бы одну точку пересечения. Следовательно, нужно: \
Решая данную совокупность систем, получим ответ: \\]
Ответ:
\(a\in \{-2\}\cup\)
Исследование
функции. 1) D(y)
– Область опрделения: множество всех
тех значений переменной х. при которых
алгебраические выражения f(x)
и g(x)
имеют смысл. Если функция задана формулой,
то область определения состоит из всех
значений независимой переменной, при
которых формула имеет смысл. 2) Свойства функции:
четность/нечетность, периодичность: Нечётными
и
чётными
называются
функции,
графики которых обладают
симметрией
относительно
изменения знака аргумента. Нечётная
функция
-
функция, меняющая значение на
противоположное при изменении знака
независимой переменной
(симметричная относительно
центра координат). Чётная
функция
-
функция, не изменяющая своего значения
при изменении знака независимой
переменной (симметричная относительно
оси ординат). Ни
чётная ни нечётная функция
(функция
общего вида)
-
функция, не обладающая симметрией. В
эту категорию относят функции, не
подпадающие под предыдущие 2 категории. Функции,
не принадлежащие ни одной из категорий
выше, называются ни
чётными ни нечётными
(или
функциями общего вида). Нечётные
функции
Нечётная степень где -
произвольное целое
число. Чётные
функции
Чётная
степень где -
произвольное целое
число. Периоди́ческая
фу́нкция
― функция,
повторяющая свои значения через некоторый
регулярный интервал аргумента, то есть
не меняющая своего значения при добавлении
к аргументу некоторого фиксированного
ненулевого числа (пери́ода
функции)
на всей области определения. 3)
Нули
(корни) функции - точки, где она
обращается в ноль. Нахождение
точки пересечения графика с осью Oy
. Для
этого нужно вычислить значение f
(0).
Найти также точки пересечения графика
с осью Ox
,
для чего найти корни уравнения f
(x
)
= 0 (или
убедиться в отсутствии корней). Точки, в
которых график пересекает
ось ,
называют нулями
функции
.
Чтобы найти нули функции нужно решить
уравнение ,
то есть найти те
значения «икс»
,
при которых функция обращается в ноль. 4)
Промежутки
постоянства знаков, знаки в них. Промежутки,
где функция f(x) сохраняет знак. Интервал
знакопостоянства – это интервал, в
каждой точке которого
функция
положительна либо отрицательна. ВЫШЕ
оси абсцисс. НИЖЕ
оси . 5)
Непрерывность (точки разрыва, характер
разрыва, ассимптоты). Непрерывная
функция
-
функция без «скачков», то есть такая, у
которой малые изменения аргумента приводят
к малым изменениям значения функции. Если
предел функции существует
,
но функция не определена в этой точке,
либо предел не совпадает со значением
функции в данной точке: , то
точка называется точкой
устранимого разрыва
функции (в комплексном
анализе -устранимая
особая точка). Если
«поправить» функцию в
точке устранимого разрыва и положить ,
то получится функция, непрерывная в
данной точке. Такая операция над функцией
называется доопределением
функции до непрерывной
или доопределением
функции по непрерывности
,
что и обосновывает название точки, как
точки устранимого
разрыва. Точки
разрыва первого и второго рода
Если
функция имеет разрыв в данной точке (то
есть предел функции в данной точке
отсутствует или не совпадает со значением
функции в данной точке), то для числовых
функций возникает два возможных варианта,
связанных с существованием у числовых
функций односторонних
пределов
: если
оба односторонних предела существуют
и конечны, то такую точку называют точкой
разрыва первого рода
.
Точки устранимого разрыва являются
точками разрыва первого рода; если
хотя бы один из односторонних пределов
не существует или не является конечной
величиной, то такую точку называют точкой
разрыва второго рода
. Аси́мпто́та
- прямая
,
обладающая тем свойством, что расстояние
от точки кривой до этой прямой
стремится
к нулю при удалении точки вдоль ветви
вбесконечность. Вертикальная
Вертикальная
асимптота - прямая предела . Как
правило, при определении вертикальной
асимптоты ищут не один предел, а два
односторонних (левый и правый). Это
делается с целью определить, как функция
ведёт себя по мере приближения к
вертикальной асимптоте с разных сторон.
Например: Горизонтальная
асимптота - прямая
вида при
условии существования предела
. Наклонная
асимптота - прямая
вида при
условии существования пределов
Замечание:
функция может иметь не более двух
наклонных (горизонтальных) асимптот. Замечание:
если хотя бы один из двух упомянутых
выше пределов не существует (или равен ),
то наклонной асимптоты при (или )
не существует. если в
п. 2.), то ,
и предел находится
по формуле горизонтальной асимптоты, . 6)
Нахождение
промежутков монотонности.
Найти
интервалы монотонности функции f
(x
)(то
есть интервалы возрастания и убывания).
Это делается с помощью исследования
знака производной f
(x
).
Для этого находят производную f
(x
) и
решают неравенство f
(x
)0.
На промежутках, где это неравенство
выполнено, функция f
(x
)возрастает.
Там, где выполнено обратное неравенство
f
(x
)0,
функция f
(x
)убывает. Нахождение
локального экстремума.
Найдя
интервалы монотонности, мы можем сразу
определить точки локального экстремума
там, где возрастание сменяется убыванием,
располагаются локальные максимумы, а
там, где убывание сменяется возрастанием
- локальные минимумы. Вычислить значение
функции в этих точках. Если функция
имеет критические точки, не являющиеся
точками локального экстремума, то
полезно вычислить значение функции и
в этих точках. Нахождение
наибольшего и наименьшего значений
функции y = f(x) на отрезке
(продолжение) 1.
Найти
производную функции: f
(x
). 2.
Найти
точки, в которых производная равна
нулю: f
(x
)=0x
1, x
2 ,... 3.
Определить
принадлежность точек х
1 , х
2 , …
отрезку
[a
; b
]:
пусть x
1a
;b
,
а x
2a
;b
. Скрыть
Показать
Рассмотрим функцию \(f(x)=x^3-3x^2+4\)
.
Можно разложить на множители: \
Следовательно, ее нули: \(x=-1;2\)
.
Если найти производную \(f"(x)=3x^2-6x\)
, то мы получим две точки экстремума \(x_{max}=0, x_{min}=2\)
.
Следовательно, график выглядит так:
Мы видим, что любая горизонтальная прямая \(y=k\)
, где \(0
Таким образом, нужно: \[\begin{cases} 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
Давайте также сразу заметим, что если числа \(t_1\)
и \(t_2\)
различны, то и числа \(\log_{\sqrt2}t_1\)
и \(\log_{\sqrt2}t_2\)
будут различны, значит, и уравнения \(x^3-3x^2+4=\log_{\sqrt2} t_1\)
и \(x^3-3x^2+4=\log_{\sqrt2} t_2\)
будут иметь несовпадающие между собой корни.
Систему \((**)\)
можно переписать так: \[\begin{cases} 1
В явном виде выписывать корни мы не будем.
Рассмотрим функцию \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\)
. Ее график – парабола с ветвями вверх, которая имеет две точки пересечения с осью абсцисс (это условие мы записали в пункте 1)). Как должен выглядеть ее график, чтобы точки пересечения с осью абсцисс были в интервале \((1;4)\)
? Так:
Во-первых, значения \(g(1)\)
и \(g(4)\)
функции в точках \(1\)
и \(4\)
должны быть положительными, во-вторых, вершина параболы \(t_0\)
должна также находиться в интервале \((1;4)\)
. Следовательно, можно записать систему: \[\begin{cases}
1+a-10+12-a>0\\
4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\
1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\)
всегда имеет как минимум один корень \(x=0\)
. Значит, для выполнения условия задачи нужно, чтобы уравнение \
Функция \(g(x)\)
имеет точку максимума \(x=0\)
(причем \(g_{\text{верш}}=g(0)=-a^2+20a-4\)
):
\(g"(x)=-2^{x^2+2}\cdot \ln 2\cdot 2x\)
. Ноль производной: \(x=0\)
. При \(x<0\)
имеем: \(g">0\)
, при \(x>0\)
: \(g"<0\)
.
Функция \(f(x)\)
при \(x>0\)
является возрастающей, а при \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
Действительно, при \(x>0\)
первый модуль раскроется положительно (\(|x|=x\)
), следовательно, вне зависимости от того, как раскроется второй модуль, \(f(x)\)
будет равно \(kx+A\)
, где \(A\)
– выражение от \(a\)
, а \(k\)
равно либо \(13-10=3\)
, либо \(13+10=23\)
. При \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
Найдем значение \(f\)
в точке минимума: \
Устранимые
точки разрыва
Горизонтальная
Наклонная
Способы задания функции
Пусть функция задается формулой: y=2x^{2}-3 . Назначая любые значения независимой переменной x , можно вычислить, пользуясь данной формулой соответствующие значения зависимой переменной y . Например, если x=-0,5 , то, пользуясь формулой, получаем, что соответствующее значение y равно y=2 \cdot (-0,5)^{2}-3=-2,5 .
Взяв любое значение, принимаемое аргументом x в формуле y=2x^{2}-3 , можно вычислить только одно значение функции, которое ему соответствует. Функцию можно представить в виде таблицы:
x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Пользуясь данной таблицей, можно разобрать, что для значения аргумента −1 будет соответствовать значение функции −3 ; а значению x=2 будет соответствовать y=0 и т.д. Также важно знать, что каждому значению аргумента в таблице соответствует лишь одно значение функции.
Еще функции возможно задать, используя графики. С помощью графика устанавливается какое значение функции соотносится с определенным значением x . Наиболее часто, это будет приближенное значение функции.
Четная и нечетная функция
Функция является четной функцией , когда f(-x)=f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно оси Oy .
Функция является нечетной функцией , когда f(-x)=-f(x) для любого x из области определения. Такая функция будет симметрична относительно начала координат O (0;0) .
Функция является ни четной , ни нечетной и называется функцией общего вида , когда она не обладает симметрией относительно оси или начала координат.
Исследуем на четность нижеприведенную функцию:
f(x)=3x^{3}-7x^{7}
D(f)=(-\infty ; +\infty) с симметричной областью определения относительно начала координат. f(-x)= 3 \cdot (-x)^{3}-7 \cdot (-x)^{7}= -3x^{3}+7x^{7}= -(3x^{3}-7x^{7})= -f(x) .
Значит, функция f(x)=3x^{3}-7x^{7} является нечетной.
Периодическая функция
Функция y=f(x) , в области определения которой для любого x выполняется равенство f(x+T)=f(x-T)=f(x) , называется периодической функцией с периодом T \neq 0 .
Повторение графика функции на любом отрезке оси абсцисс, который имеет длину T .
Промежутки, где функция положительная, то есть f(x) > 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих выше оси абсцисс.
f(x) > 0 на (x_{1}; x_{2}) \cup (x_{3}; +\infty)
Промежутки, где функция отрицательная, то есть f(x) < 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x) < 0 на (-\infty; x_{1}) \cup (x_{2}; x_{3})
Ограниченность функции
Ограниченной снизу принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число A , для которого выполняется неравенство f(x) \geq A для любого x \in X .
Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1+x^{2}} так как y=\sqrt{1+x^{2}} \geq 1 для любого x .
Ограниченной сверху называется функция y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число B , для которого выполняется неравенство f(x) \neq B для любого x \in X .
Пример ограниченной снизу функции: y=\sqrt{1-x^{2}}, x \in [-1;1] так как y=\sqrt{1+x^{2}} \neq 1 для любого x \in [-1;1] .
Ограниченной принято называть функцию y=f(x), x \in X тогда, когда существует такое число K > 0 , для которого выполняется неравенство \left | f(x) \right | \neq K для любого x \in X .
Пример ограниченной функции: y=\sin x ограничена на всей числовой оси, так как \left | \sin x \right | \neq 1 .
Возрастающая и убывающая функция
О функции, что возрастает на рассматриваемом промежутке принято говорить как о возрастающей функции тогда, когда большему значению x будет соответствовать большее значение функции y=f(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значения аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) > y(x_{2}) .
Функция, что убывает на рассматриваемом промежутке, называется убывающей функцией тогда, когда большему значению x будет соответствовать меньшее значение функции y(x) . Отсюда выходит, что взяв из рассматриваемого промежутка два произвольных значений аргумента x_{1} и x_{2} , причем x_{1} > x_{2} , будет y(x_{1}) < y(x_{2}) .
Корнями функции принято называть точки, в которых функция F=y(x) пересекает ось абсцисс (они получаются в результате решения уравнения y(x)=0 ).
а) Если при x > 0 четная функция возрастает, то убывает она при x < 0
б) Когда при x > 0 четная функция убывает, то возрастает она при x < 0
в) Когда при x > 0 нечетная функция возрастает, то возрастает она и при x < 0
г) Когда нечетная функция будет убывать при x > 0 , то она будет убывать и при x < 0
Экстремумы функции
Точкой минимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняться неравенство f(x) > f(x_{0}) . y_{min} - обозначение функции в точке min.
Точкой максимума функции y=f(x) принято называть такую точку x=x_{0} , у которой ее окрестность будет иметь остальные точки (кроме самой точки x=x_{0} ), и для них тогда будет выполняется неравенство f(x) < f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Необходимое условие
Согласно теореме Ферма: f"(x)=0 тогда, когда у функции f(x) , что дифференцируема в точке x_{0} , появится экстремум в этой точке.
Достаточное условие
- Когда у производной знак меняется с плюса на минус, то x_{0} будет точкой минимума;
- x_{0} - будет точкой максимума только тогда, когда у производной меняется знак с минуса на плюс при переходе через стационарную точку x_{0} .
Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке
Шаги вычислений:
- Ищется производная f"(x) ;
- Находятся стационарные и критические точки функции и выбирают принадлежащие отрезку ;
- Находятся значения функции f(x) в стационарных и критических точках и концах отрезка. Меньшее из полученных результатов будет являться наименьшим значением функции , а большее — наибольшим .